多刚体动力学下

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1、多体系统动力学下册Ｒ．Ｌ．休斯敦　刘又午　著天津大学出版社140目录140第六章惯量概念6.1前言为了导出惯性力表达式，必先具备有关物体惯性特性的知识。当质点在惯性参考系（或牛顿参考系）中加速时间时，其上作用的外力与加速度成正比。如图6.1，R为惯性参考系，P为质点，F为作用与质点的力，则P中的加速度RaP与F的关系可表示为F=mRaR（6.1.1）根据经典理论，质点的质量只决定于其物理特性，而与其加速度无关。如视物体为质点的集合，则其质量（或惯量）特性即可由质点推出。本章将复习和给定用于多体系统分析的有关物体的惯量特性。6.2一次矩为描述物体的惯量特性，一次

2、矩和二次矩是两个有用的矢量。质点的一次矩定义如下：见图6.2.1，令P为质点，m为其质量，p为给定P对参考点O的位置矢量。则P对O的一次矩LP/O为LP/O=mp(6.2.1)一次矩的大小与质点的质量及其至参考点O的距离成正比。140其次，考察如图6.2.2所示N个质点Pi（i=1,…,N）组成的质点系S。S对参考点O的一次矩可定义为各质点对O点一次矩之和。即（6.2.2）式中mi为S中任意质点Pi的质量。6.3质心质点系S的质心定义为质系S对其一次矩为零的那个参考点G。即如G为S的质心，则LS/G=0(6.3.1)见图6.3.1，令S为质点系，O为任意参考系

3、，G为质心；pG为G对O的位置矢量，ri为Pi对G的位置矢量，则有pi=PG+ri(6.3.2)而由式（6.3.1），如G为S的质心，则（6.3.3）式（6.3.2）代入（6.3.3）可有（6.3.4）因pG不含下标i，与和式无关，故可提至和式之外，如最后的等式。和式140即是S的总质量。故由式（6.3.4）可得（6.3.5）式中M为S的总质量。因刚体可视为一个质点系，故可用式（6.3.5）求得刚体的质心。而作为连续体，组成刚体的质点数目应该很大。故应令式（6.3.5）中N无限的增大，最终可以物体占有区域的体积分取代其中和式。如B为刚体，其质心为G，则G对任意

4、参考点O的位置矢量可表示为（6.3.6）如V内质量均匀分布（即ρ为常数），则式（6.3.6）简化为（6.3.7）式中V为B占有空间的体积。故对匀质物体，质心位置仅决定于物体形状。对常见物体（或图形），pG已由式（6.3.7）确定。有关结果在很多力学教科书和手册中皆可查到（参见[6.1-6.6]）。本章末附录中列出了常见形状物体的质心位置。6.4在多体系统中的应用再考察式（6.3.5）（6.4.1）式中S为n个质点组成的任意系统。可由此式导出确定多体系统质心的算法。设多体系统S包含N个物体Bk(k=1,…,N),如图6.4.1。对任意典型物体Bk，它的质心至参考

5、点O的相对位置可用式（6.4.1）确定。140即（6.4.2）式中为Bk质量。此式可改写为（6.4.3）式中为组成的质点数，上面最后一个等式系由式（6.2.2）和一次矩定义得来。注意到式（6.4.1）中的和式由有限项组成，故可根据各独立物体，将它分为若干和式。即可将和表示为（6.4.4）和（6.4.5）比较式（6.4.3）（6.4.4）。可以判定式（6.4.4）中各独立和式即是各独立物体的一次矩。即整个系统的一次矩可表示为（6.4.6）同理，由式（6.4.5）。S的总质量M可表示为各独立物体质量之和，即140（6.4.7）再比较式（6.4.3）（6.4.4）可

6、知（6.4.8）解pG可得（6.4.9）式（6.4.9）给出确定多体系统质心所需的算式。考察图6.4.2所示系统，说明其具体应用。此系统由一个立方体、一个圆柱体、四个杆和一个球，共七个物体组成。令立方体每边长1m。令各杆尺寸相同，皆为直径4cm，长1m。令圆柱体直径为1/3m，长1m。令球的直径为1/3m。令B6与球面相连，且轴线通过球心。除B1有圆柱形空腔外，各物体都是匀质的。空腔贯穿立方体，其直径为1/3m。令立方体、圆柱和球的密度为7.8×103kg/m3（钢），杆的密度为9.8kg/m。令B3和B6与X轴平行，B4和B5与Y-Z平面平行。只需计算式（6

7、.4.9）中的和式，即可确定此系统相对于直角坐标系XYZ原点O的质心位置。为计算和式最好用图6.4.2的单位矢量N1、N2和N3表示各矢量。实际上计算过程不过是简单的乘法和表中各列相加。各体的体积、质量和质心位置列如表6.4.1。第3列相加为总质量。乘积见第7、8和9列。称空腔为B0140；其质量应冠以负号。参见本章末附表，可得第4、5和6列各值。由表6.4.1可知系统总质量为7990.32kg。且和式可写为kgm（6.4.10）为140（6.4.11）表6.4.1及各和式易于表达为计算机算法。首先输入第1、2和3列数据。其次，引用较低序体连接阵列（见4.2节

8、）。本例无分支，阵列很简单L0(K)=