2018年高考数学二轮复习 专题09 等差数列、等比数列讲学案 理

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1、专题09等差数列、等比数列高考侧重于考查等差、等比数列的通项an，前n项和Sn的基本运算，另外等差、等比数列的性质也是高考的热点．备考时应切实文解等差、等比数列的概念，加强五个量的基本运算，强化性质的应用意识．1．等差数列(1)定义式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)；(2)通项公式：an＝a1＋(n－1)d；(3)前n项和公式：Sn＝＝na1＋；(4)性质：①an＝am＋(n－m)d(n、m∈N*)；②若m＋n＝p＋q(m、n、p、q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.2．等比数列(1)定义式：＝q(n∈N*，q为非零常数)；(2)通项公式：

2、an＝a1qn－1；(3)前n项和公式：Sn＝(4)性质：①an＝amqn－m(n，m∈N*)；②若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq(p、q、m、n∈N*)．3．复习数列专题要把握等差、等比数列两个定义，牢记通项、前n项和四组公式，活用等差、等比数列的性质，明确数列与函数的关系，巧妙利用an与Sn的关系进行转化，细辨应用问题中的条件与结论是通项还是前n项和，集中突破数列求和的五种方法(公式法、倒序相加法、错位相减法、分组求和法、裂项相消法).【误区警示】1．应用an与Sn的关系，等比数列前n项和公式时，注意分类讨论．2．等差、等比数列的性质可类比掌

3、握．注意不要用混．3．讨论等差数列前n项和的最值时，不要忽视n为整数的条件和an＝0的情形．4．等比数列{an}中，公比q≠0，an≠0.考点一　等差数列的运算例、(2017·高考全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为(　　)A．1　　　　　　　　　B．2C．4D．8【变式探究】(1)(2016·高考全国卷Ⅰ)已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝(　　)A．100　　　　　　　　B．99C．98D．97【答案】C【解析】通解：∵{an}是等差数列，设其公差为d，由题意得

4、，∴∴a100＝a1＋99d＝－1＋99×1＝98，选C.优解：设等差数列{an}的公差为d，因为{an}为等差数列，且S9＝9a5＝27，所以a5＝3.又a10＝8，解得5d＝a10－a5＝5，所以d＝1，所以a100＝a5＋95d＝98，选C.(2)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝(　　)A．5B．7C．9D．11【答案】A【解析】通解：∵a1＋a3＋a5＝a1＋(a1＋2d)＋(a1＋4d)＝3a1＋6d＝3，∴a1＋2d＝1，∴S5＝5a1＋d＝5(a1＋2d)＝5，故选A.优解：∵a1＋a5＝2a3，∴a1

5、＋a3＋a5＝3a3＝3，∴a3＝1，∴S5＝＝5a3＝5，故选A.【方法规律】1．通解是寻求a1与d的关系，然后用公式求和．优解法是利用等差中项性质转化求和公式．2．在等差数列中，当已知a1和d时，用Sn＝na1＋d求和．当已知a1和an或者a1＋an＝a2＋an－1形式时，常用Sn＝＝求解．【变式探究】若数列{an}满足－＝d(n∈N*，d为常数)，则称数列{an}为调和数列，已知数列为调和数列，且x1＋x2＋…＋x20＝200，则x5＋x16＝(　　)A．10B．20C．30D．40考点二　等比数列的运算例2、【2017江苏，9】等比数列的各项均

6、为实数,其前项的和为,已知,则=▲.【答案】32【解析】当时，显然不符合题意；当时，，解得，则.【变式探究】(1)(2016·高考全国卷Ⅰ)设等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2…an的最大值为________．【答案】64【解析】通解：求a1a2…an关于n的表达式＝＝，∴q＝∴a1＋a12＝10，∴a1＝8∴a1·a2·a3…an＝a·q＝8n×＝2当n＝3或n＝4时，最大为6.∴a1a2…an的最大值为26＝64优解：利用数列的单调变化设{an}的公比为q，由a1＋a3＝10，a2＋a4＝5得a1＝8，q＝，则a2＝4

7、，a3＝2，a4＝1，a5＝，所以a1a2…an≤a1a2a3a4＝64.(2)已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，则a2＝(　　)A．2B．1C.D.【答案】C【方法规律】1．解题关键：抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解．2．运用函数性质：数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题．【变式探究】等比数列{an}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lgan}的前8项和等于(　　)A．6B．5C．4D．3【解析】选C.由题意知a1·a8＝a2·a7＝a3

8、·a6＝a4·a5＝10，∴数列{lgan}的前8项和等于lga1＋lga2＋…＋lga8＝l