2019高考数学二轮复习 专题四 数列 第一讲 等差数列、等比数列学案 理

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1、第一讲　等差数列、等比数列考点一　等差、等比数列的基本运算1．等差数列的通项公式及前n项和公式an＝a1＋(n－1)d；Sn＝＝na1＋d.2．等比数列的通项公式及前n项和公式an＝a1qn－1(q≠0)；Sn＝[对点训练]1．在等差数列{an}中，已知a5＋a10＝12，则3a7＋a9＝(　　)A．12B．18C．24D．30[解析]　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，因为a5＋a10＝12，所以2a1＋13d＝12，所以3a7＋a9＝3(a1＋6d)＋a1＋8d＝4a1＋26d＝2(2a1＋13d)＝2×12＝24.[答案]　C2．(

2、2018·山东青岛模拟)公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6＝3a4，且S9＝λa4，则λ的值为(　　)A．18B．20C．21D．25[解析]　设公差为d，由a6＝3a4，且S9＝λa4，得解得λ＝18，故选A.[答案]　A3．已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，则a2＝(　　)A．2B．1C.D.[解析]　设等比数列{an}的公比为q，由a1＝，a3a5＝4(a4－1)，可知q≠1，则a1q2×a1q4＝4(a1q3－1)，∴×q6＝4，∴q6－16q3＋64＝0，∴(q3－8)2＝0，即q3＝8，∴q＝

3、2，∴a2＝，故选C.[答案]　C4．在等比数列{an}中，若a4－a2＝6，a5－a1＝15，则a3＝________.[解析]　设等比数列{an}的公比为q，则两式相除，得＝，即2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝.所以或故a3＝4或a3＝－4.[答案]　4或－4[快速审题]　看到求项、求和，想到求a1，d，q及通项公式、前n项和公式．等差(比)数列的运算注意两点(1)在等差(比)数列中，首项a1和公差d(公比q)是两个最基本的元素．(2)在进行等差(比)数列项与和的运算时，若条件和结论间的联系不明显，则均可化成关于a1和d(q)的方程组求

4、解，但要注意消元法及整体计算，以减少计算量．考点二　等差、等比数列的性质[对点训练]1．(2018·山西太原一模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋a3＋a10＝9，则S9＝(　　)A．3B．9C．18D．27[解析]　设等差数列{an}的公差为d，∵a2＋a3＋a10＝9，∴3a1＋12d＝9，即a1＋4d＝3，∴a5＝3，∴S9＝＝9a5＝27，故选D.[答案]　D2．(2018·山东菏泽一模)在等比数列{an}中，a2，a16是方程x2＋6x＋2＝0的根，则的值为(　　)A．2B．－C.D．－或[解析]　设等比数列{an}的公比

5、为q，由a2，a16是方程x2＋6x＋2＝0的根，可得a2a16＝2，所以a＝2，则＝a9＝±.故选D.[答案]　D3．(2018·合肥模拟)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S5＝1，S10＝3，则S15的值是________．[解析]　∵数列{an}是等比数列，∴S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，∴(S10－S5)2＝S5·(S15－S10)，4＝1×(S15－3)，得S15＝7.[答案]　7[探究追问]　3题中条件不变，如何求S100的值？[解析]　在等比数列{an}中，S5，S10－S5，S15－S10，…成等比数列，因为

6、S5＝1，S10＝3，所以S100可表示为等比数列1,2,4，…的前20项和，故S100＝＝220－1.[答案]　220－1[快速审题]　看到等差、等比数列，想到等差、等比数列项的性质、和的性质．等差(比)数列性质应用策略解决此类问题的关键是抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解．考点三　等差、等比数列的判定与证明1．证明数列{an}是等差数列的两种基本方法(1)利用定义，证明an＋1－an(n∈N*)为一常数；(2)利用等差中项，即证明2an＝an－1＋an＋1(n≥2)．2．证明数列{an}是等比数列的

7、两种基本方法(1)利用定义，证明(n∈N*)为一常数；(2)利用等比中项，即证明a＝an－1an＋1(n≥2)．[解]　(1)证明：由a1＝1，及Sn＋1＝4an＋2，有a1＋a2＝4a1＋2，a2＝3a1＋2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3.由Sn＋1＝4an＋2①知当n≥2时，有Sn＝4an－1＋2②①－②得an＋1＝4an－4an－1，∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)又∵bn＝an＋1－2an，∴bn＝2bn－1，∴{bn}是首项b1＝3，公比为2的等比数列．(2)由(1)可得bn＝an＋1－2an＝3·2n－1，∴－＝，∴数列是首

8、项为，公差为的等差数列．∴＝＋(n－1)×＝n－，an＝(3n－1)·2n－2.等差、等比数列的判定与证明应注意的两点(1)判断一个数列