2019版高考数学大一轮复习第三章三角函数、解三角形第22讲解三角形应用举例优选学案

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1、第22讲　解三角形应用举例考纲要求考情分析命题趋势能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.2015·湖北卷，132014·四川卷，13解三角形是三角函数的知识在三角形中的应用，高考中可单独考查，也可以与三角函数、不等式、向量等综合考查.分值：5分1．仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线__上方__的角叫仰角，在水平线__下方__的角叫俯角(如图①)．2．方位角从指北方向__顺时针__转到目标方向线的水平角叫方位角，如B点的方位角为α(如图②)．3．方向角相对于某一正方向的水平角(如图③)．(1)北偏东α，即由指北方向__顺时针__旋

2、转α到达目标方向．(2)北偏西α，即由指北方向__逆时针__旋转α到达目标方向．(3)南偏西等其他方向角类似．4．坡角和坡度(比)坡角：坡面与水平面所成的__二面角__的度数(如图④，角θ为坡角)．坡度(比)：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度(比))．1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)公式S＝bcsinA＝acsinB＝absinC适用于任意三角形．(　√　)(2)东北方向就是北偏东45°的方向．(　√　)(3)俯角是铅垂线与视线所成的角．(　×　)(4)方位角大小的范围是[0,2π)，方向角大小的范围一般是.(　√　)解析　(1)正确．三角形的面积公式

3、对任意三角形都成立．(2)正确．数学中的东北方向就是北偏东45°或东偏北45°的方向．(3)错误．俯角是视线与水平线所构成的角．(4)正确．方位角是由正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，故大小的范围为[0,2π)，而方向角大小的范围由定义可知为.2．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的(　B　)A．北偏东15°　　B．北偏西15°C．北偏东10°　　D．北偏西10°解析　如图所示，∠ACB＝90°.又AC＝BC，∴∠CBA＝45°，而β＝30°，∴α＝90°－45°－30°＝15°.∴点A在点B的北偏西15°.3．如图，设A，B两点在

4、河的两岸，一测量者在A的同侧，选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为(　A　)A．50m　　B．50mC．25m　　D．m解析　由正弦定理得AB＝＝＝50(m)．4．在相距2千米的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离为____千米．解析　如图所示，由题意知∠C＝45°，由正弦定理得＝，∴AC＝×＝.5．一船向正北航行，看见正东方向有相距8海里的两个灯塔恰好在一条直线上．继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏东60°，另一灯塔在船的南偏东75°，则这艘船每小时航行__8__海里．

5、解析　如图，由题意知在△ABC中，∠ACB＝75°－60°＝15°，∠B＝15°，∴AC＝AB＝8.在Rt△AOC中，OC＝AC·sin30°＝4.∴这艘船每小时航行＝8(海里)．一　距离问题求解距离问题的一般步骤(1)选取适当基线，画出示意图，将实际问题转化为三角形问题．(2)明确要求的距离所在的三角形有哪些已知元素．(3)确定使用正弦定理或余弦定理解三角形．【例1】要测量对岸A，B两点之间的距离，选取相距km的C，D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，则A，B之间的距离为____km.解析　如图，在△ACD中，∠ACD＝120°，

6、∠CAD＝∠ADC＝30°，∴AC＝CD＝km.在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°.∴BC＝＝.在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝()2＋2－2×××cos75°＝3＋2＋－＝5，∴AB＝km，即A，B之间的距离为km.二　高度问题高度问题一般是把它转化成三角形的问题，要注意三角形中边角关系的应用，若是空间的问题要注意空间图形和平面图形的结合．【例2】要测量电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40m，则电视塔的高度为__40__m.解析　设电视塔AB高为xm，则

7、在Rt△ABC中，由∠ACB＝45°，得BC＝x.在Rt△ADB中，由∠ADB＝30°，得BD＝x.在△BDC中，由余弦定理，得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos120°，即(x)2＝x2＋402－2·x·40·cos120°，解得x＝40，所以电视塔高为40m.三　角度问题解决角度问题的注意点(1)首先应明确方位角或方向角的含义．(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步．(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问