2018年中考数学题型复习题型八二次函数综合题类型四与直角三角形有关的问题练习

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1、类型四与直角三角形有关的问题1.(2017重庆南开一模)如图，抛物线y＝－x2＋x＋3与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为(m，0)，过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q.(1)求直线BD的解析式；(2)当点P在线段OB上运动时，直线l交BD于点M，当△DQB面积最大时，在x轴上找一点E，使QE＋EB的值最小，求E的坐标和最小值；(3)在点P的运动过程中，是否存在点Q，使△BDQ是以BD为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．第1题图2.(2016重庆B

2、卷)如图①，二次函数y＝x2－2x＋1的图象与一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象交于A，B两点，点A的坐标为(0，1)，点B在第一象限内，点C是二次函数图象的顶点，点M是一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与x轴的交点，过点B作x轴的垂线，垂足为N，且S△AMO∶S四边形AONB＝1∶48.(1)求直线AB和直线BC的解析式；(2)点P是线段AB上一点，点D是线段BC上一点，PD∥x轴，射线PD与抛物线交于点G，过点P作PE⊥x轴于点E，PF⊥BC于点F.当PF与PE的乘积最大时，在线段AB上找一点H(不与点A，点B重合)，使GH＋BH的值

3、最小．求点H的坐标和GH＋BH的最小值；(3)如图②，直线AB上有一点K(3，4)，将二次函数y＝x2－2x＋1沿直线BC平移，平移的距离是t(t≥0)，平移后抛物线上点A，点C的对应点分别为A′，点C′；当△A′C′K是直角三角形时，求t的值．第2题图答案1.解：(1)令y＝0，即－x2＋x＋3＝0，解得x1＝6，x2＝－1，∴A(－1，0)，B(6，0)，当x＝0时，y＝3，则C(0，3)，∵点D与点C关于x轴对称，∴点D为(0，－3)，设直线BD的解析式为y＝kx＋b，将D(0，－3)和B(6，0)分别代入得，解得：k＝，b＝－3，∴直

4、线BD的解析式为y＝x－3；(2)设点P的坐标为(m，0)，则点Q(m，－m2＋m＋3)，M(m，m－3)．∴S△QBD＝OB·QM＝×6×(－m2＋m＋3－m＋3)＝－(m－2)2＋24，∴当m＝2时，△QBD的面积有最大值，此时Q(2，6)，如解图所示，过点E作EF⊥BD，垂足为点F，第1题解图在Rt△OBD中，OB＝6，OD＝3，则BD＝3，∴sin∠EBF＝sin∠OBD＝＝，∴EF＝BE，∴QE＋EB＝QE＋EF，∴当点Q、E、F在同一条直线上时，QE＋EB有最小值．过点Q作QF′⊥BD，垂足为点F′，QF′交OB于点E′.设QF′

5、的的解析式为y＝－2x＋c，将点Q的坐标代入得－4＋c＝6，解得c＝10，∴QF′的解析式为y＝－2x＋10.当y＝0时，－2x＋10＝0，解得x＝5，∴点E′的坐标为(5，0)，即点E的坐标为(5，0)时QE＋EB有最小值，∴QE＋EB的最小值为＋＝3＋＝；(3)当∠QDB＝90°，DQ的解析式为y＝－2x－3，将y＝－2x－3与y＝－x2＋x＋3联立解得x＝或x＝，∴点Q的坐标为(，－12－)或(，－12＋)当∠QBD＝90°时，QB的解析式为y＝－2x＋12，将y＝－2x＋12与y＝－x2＋x＋3联立解得x＝3或x＝6(舍去)，∴点Q的

6、坐标为(3，6)．综上所述，点Q的坐标为(，－12－)或(，－12＋)或(3，6)．2.解：(1)由题易知BN∥OA，∴△OAM∽△NBM，∴＝()2，∵＝＝，∴＝，∴＝()2，即＝()2，∴BN＝7，令y＝7，则x2－2x＋1＝7，解得x1＝6，x2＝－2，则B(6，7)，∴N(6，0)，把A(0，1)，B(6，7)代入y＝kx＋b中，得，解得，∴直线AB的解析式为y＝x＋1;∵抛物线y＝x2－2x＋1＝(x－2)2－1，∴C(2，－1)，设直线BC的解析式为y＝ax＋c，把B(6，7)，C(2，－1)代入得，，解得，∴直线BC的解析式为y

7、＝2x－5.(2)设P点坐标为(m，m＋1)，则D(，m＋1)，∴PE＝m＋1，PD＝，设BC与x轴的交点为Q，则Q(，0)，∴NQ＝，BQ＝，∵PD∥ON，∴∠PDF＝∠BQN，又∵∠PFD＝∠BNQ＝90°，∴△PDF∽△BQN，∴＝，即＝，∴PF＝，∴PF·PE＝(m＋1)＝－m2＋m＋，当m＝－＝时，PE·PF的值最大，此时P(，)，BP＝，E(，0)与Q点重合，m＝时，G(5，)，如解图①，以直线AB为对称轴，作点G的对称点G′，GG′与AB交于点R，过G′作G′H∥x轴，交BN于点S，交AB于点H，此时点H就是使GH＋BH的值最小

8、的点．在Rt△PRG中，PG＝，∠RPG＝∠RGP＝45°，∴RP＝RG＝＝，易证∠RHG＝∠BHS＝∠HBS＝45°，∴RH＝RG′＝RG＝，∴G′H＝，PH＝，