第一讲 函数极限 连续.doc

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1、第一讲函数极限连续§1重要内容一．奇偶函数的导函数与原函数的奇偶性1．可导偶函数导函数为奇函数，且；可导奇函数导函数必为偶函数。2．设f(x)连续，则(1)若f(x)为偶函数，则为奇函数(2)若f(x)为奇函数，则对a，为偶函数；二．周期函数的导函数与原函数的周期性1．周期为T的可导函数的导函数是同周期函数2．周期为T的连续函数的原函数以T为同周期的充要条件是：3．设f(x)是以T为周期的连续函数，则且三．极限1．保号性2．注意：数列极限要用诺比达法则必须转化为函数极限3．极限存在准则，两个重要的极限4

2、．等价无穷小设（1）（2）（3）（4）设f(x)1则5．常见的极限不存在的情况设（1），利用无穷小乘以有界变量（2）讨论和两种情况。例如时要分和两种情况分段函数在分段点也要考虑左右极限一．连续与间断§2题型与例题分析题型一：型极限1．化简a：提出非0因子；b：等价无穷小替换；c：根式有理化若2．方法：洛比达法则导数定义泰勒公式例1：已知曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=x-1。求解：f(1)=0.令=则：=变形：可以有以下方式给出：A：函数y=f(x)在（1，0）处有；B：曲线y=f(x)在（1

3、，0）处的切线在y轴上的截距为-1；C：曲线y=f(x)与在（1，0）处有相同的切线；D：f(x)是方程满足y(1)=0的特解；E：函数f(x)满足；（取x=1f(1)=0，取x=1）题型二：极限：：例2：已知f(x)可导，且f(x)>0，f(0)=1；设，求f(x)。解：=1又f(0)=1，c=1例3：设f(x)在x=a的某邻域内可导，且f(a)，求：解：题型三：其他不定式的极限例4：求解：当时，所以此时的极限为1当时，左极限不等于有极限，所以原式极限不存在。例5：求解：=注意：题型四：反问题：已知极

4、限求参数，导数，函数（值）变形：A：已知无穷小的关系；B：讨论连续性方法1：利用洛比达法则已知，则：①②如果存在，则方法2：将已知极限化为或者①若且，则②若且，则③若且，则方法3：泰勒公式例6：已知f(x)在x=0处连续，且，求分析：，解：例7：试确定a，b，c，使存在，并求该极限。解：例8：设f(x)在x=1的某邻域内连续，且，则x=1是f(x)的[]。（A）不可导点（B）可导点，但不是驻点（C）是驻点且是极小值点（D）是驻点，且是极大值点[分析]：的某空心邻域，使若，的某空心邻域，使所以答案为：D题

5、型五：求含参变量的极限在求解含下列含数的极限时，要对参变量进行讨论。①②例9：已知，求（x>0）[分析]：1-解：当x>1时，；当x=1时，；当x<1时，；例10：求（x>0）[结论]：设，则解：题型六：求n项和或积的极限1．求n项和的极限：①设f(x)在[a，b]上连续，则②夹逼定理2．求n项积的极限例11：解：变形：①②③题型七：利用单调有界数列必有极限或夹逼定理求函数的极限。①单调有界②A=f(A)例12：设f(x)在[a，b]上二阶可导。，曲线与轴的交点为。①求曲线在处的切线与轴的交点。②令证明

6、解：①切线：令，则。②证：是曲线在处的切线轴的交点。若，有，，即。有上界。存在。设，有即：又，即：题型八：无穷小比较及无穷小的阶例13：当时，下列无穷小的阶数最高的是[]（A）（B）（C）（D）[结论]：当时，若则。（B）（C）（D）故答案为D题型九：讨论连续性与间断点例14：已知在上连续。且。则的取值范围为：[分析]：的定义域为；又。例15：设连续，在处可导，且。已知：在处连续。求的值。解：由题意知：，令：，则：例16：求函数的间断点及其类型。解：。令：则（为正数）即为间断点。①若，即，为可去间断点。

7、②若，，当时，。与有一个为；当时，是的无穷间断点。