奥数：msdc.初中数学.相似三角形c级.第02讲.学生版

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1、射影定理和四边形类相似问题中考要求内容基本要求略高要求较高要求相似了解比例的基本性质，了解线段的比、成比例线段，会判断四条线段是否成比例，会利用线段的比例关系求未知线段；了解黄金分割；知道相似多边形及其性质；认识现实生活中物体的相似；了解图形的位似关系会用比例的基本性质解决有关问题；会用相似多边形的性质解决简单的问题；能利用位似变换将一个图形放大或缩小相似三角形了解两个三角形相似的概念会利用相似三角形的性质与判定进行简单的推理和计算；会利用三角形的相似解决实际问题相似多边形知道相似多边形及其性质；认识现实生活中物体的相

2、似会用相似多边形的性质解决简单问题重难点1．相似定义，性质，判定，应用和位似2．相似的判定和证明3．相似比的转化课前预习梅涅劳斯定理梅涅劳斯（Menelaus，公元98年左右），是希腊数学家兼天文学家．梅涅劳斯定理是因他的发现者而命名的平面几何中的一个重要定理．梅涅劳斯定理：、、分别是△三边所在直线、、上的点．则、、共线的充分必要条件是：．根据命题的条件可以画出如图所示的两个图形：或、、三点中只有一点在三角形边的延长线上，而其它两点在三角形的边上；或、、三点分别都在三角形三边的延长线上．证明：（1）必要性，即若、、三点

3、共线，则．设、、到直线的距离分别为、、．则，、，三式相乘即得（2）充分性，即若，则、、三点共线．设直线交于，由已证必要性得：又因为，所以．因为和或同在线段上，或同在边的延长线上，并且能分得比值相等，所以和比重合为一点，也就是、、三点共线．梅涅劳斯定理的应用，一是求共线线段的笔，即在、、三个比中，已知其中两个可以求得第三个．二是证明三点共线．塞瓦定理连结三角形一个顶点和对边上一点的线段叫做这个三角形的一条塞瓦线．塞瓦（G·Gevo1647-1734）是意大利数学家兼水利工程师．他在1678年发表了一个著名的定理，后世以他

4、的名字来命名，叫做塞瓦定理．塞瓦定理：从的每个顶点出发作一条塞瓦线．则共点的充分必要条件是．充分性命题：设的三条塞瓦线共点，则必有．必要性命题：设中，是三条塞瓦线，如果，则三线共点．我们先证明充分性命题．如图，设相交于点，过作边的平行线，分别交的延长线于．由平行截割定理，得．上面三式两边分别相乘得：我们再证明必要性命题．假设与这两条塞瓦线相交于点，连交于．则也是一条过点的的塞瓦线．根据已证充分性命题，可得，由因为，进而可得．所以，因此．所以与重合，从而和重合，于是得出共点．塞瓦定理在平面几何证题中有着举足轻重的作用．第

5、一方面，利用塞瓦定理的必要性可证明三线共点问题．第二方面，当一个三角形有三条塞瓦线共点时，依据塞瓦定理的充分性命题，就可以得出六条线段比例乘积等于1的关系式．利用这个关系式可以证明线段之间的比例式或乘积式．例题精讲一、梅涅劳斯定理【例1】已知△中，是的重点，经过的直线交与，交的延长线于．求证：．【巩固】如图所示，△中，∠=90°，．为边上的中线，于，的延长线交于．求．【巩固】在△的三边、、上分别取点、、．使．若与，与，与的交点分别为、、求证：．【例1】如图所示，△的三条外角平分线、、，与对边所在直线交于、、三点，求证：

6、、、三点共线．【例2】如图所示，设、分别在△的边、上，与交于，，．．求．【例3】如图所示，△内三个三角形面积分别为5，8，10．四边形的面积为，求的值．【巩固】如图所示，△被通过它的三个顶点与一个内点的三条直线分为6个小三角形，其中三个小三角形的面积如图所示，求△的面积．二、塞瓦定理【例1】设是的三条中线，求证：共点．【巩固】若分别为的三条内角平分线．求证：共点．【例1】如图，设为内一点，与交于点，与交于，若通过的中点，求证：．【巩固】锐角三角形中，是边上的高线，是线段内任一点，和的延长线分别交、于、，求证：．【拓展】

7、如图，在四边形中，对角线平分，在上取一点，与相交于，延长交于．求证：．二、其他类型【例1】如图所示，是一个凸六边形，、、分别是直线与、与、与的交点，、、分别是与、与、与的交点，如果，求证：．【例2】设、分别是凸四边形的边、上的点，且，求证：直线与之间的夹角等于直线与之间的夹角．【例3】已知：的高所在直线与高所在直线相交于点．（1）如图l，若为锐角三角形，且，过点作，交直线于点，求证：；（2）如图2，若，过点作，交直线于点，则之间满足的数量关系是；（3）在（2）的条件下，若，，将一个角的顶点与点重合并绕点旋转，这个角的两

8、边分别交线段于两点（如图3），连接，线段分别与线段、线段相交于两点，若，求线段的长．课堂检测1.是平行四边形内任意一点，过作的平行线，分别交于，交于；又过作的平行线，分别交于，交于，又，相交于．求证：三点共线．2.如图，四边形的对边和，和分别相交于，对角线与交于．直线与，分别交于．求证：．总结复习1．通过本堂课你学会了．2．掌握的