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1、向量法证明正弦定理(精选多篇)第一篇：向量法证明正弦定理向量法证明正弦定理证明a/sina=b/sinb=c/sinc=2r：任意三角形abc,作abc的外接圆o.作直径bd交⊙o于d.连接da.因为直径所对的圆周角是直角,所以∠dab=90度因为同弧所对的圆周角相等,所以∠d等于∠c.所以c/sinc=c/sind=bd=2r2如图1，△abc为锐角三角形，过点a作单位向量j垂直于向量ac，则j与向量ab的夹角为90°-a，j与向量cb的夹角为90°-c由图1，ac+cb=ab(向量符号打不出)在向量等式
2、两边同乘向量j,得·j·ac+cb=j·ab∴│j││ac│co(更多请搜索)s90°+│j││cb│cos(90°-c)=│j││ab│cos(90°-a)∴asinc=csina∴a/sina=c/sinc同理，过点c作与向量cb垂直的单位向量j，可得c/sinc=b/sinb∴a/sina=b/sinb=c/sinc2步骤1记向量i，使i垂直于ac于c，△abc三边ab,bc,ca为向量a,b,c∴a+b+c=0则i(a+b+c)=i·a+i·b+i·c=a·cos(180-(c-90))+b·0+c
3、·cos(90-a)=-asinc+csina=0接着得到正弦定理其他步骤2.在锐角△abc中，设bc=a,ac=b,ab=c。作ch⊥ab垂足为点hch=a·sinbch=b·sina∴a·sinb=b·sina得到a/sina=b/sinb同理，在△abc中，b/sinb=c/sinc步骤3.证明a/sina=b/sinb=c/sinc=2r：任意三角形abc,作abc的外接圆o.作直径bd交⊙o于d.连接da.因为直径所对的圆周角是直角,所以∠dab=90度因为同弧所对的圆周角相等,所以∠d等于∠c.
4、所以c/sinc=c/sind=bd=2r类似可证其余两个等式。3用向量叉乘表示面积则s=cb叉乘ca=ac叉乘ab=>absinc=bcsina(这部可以直接出来哈哈，不过为了符合向量的做法)=>a/sina=c/sinc2014-7-1817:16jinren92
5、三级记向量i，使i垂直于ac于c，△abc三边ab,bc,接着得到正弦定理其他步骤2.在锐角△abc中，证明a/sina=b/sinb=c/sinc=2r：任意三角形abc,4过三角形abc的顶点a作bc边上的高，垂足为d.(1)当d落在边b
6、c上时，向量ab与向量ad的夹角为90°-b，向量ac与向量ad的夹角为90°-c，由于向量ab、向量ac在向量ad方向上的射影相等，有数量积的几何意义可知向量ab*向量ad=向量ac*向量ad即向量ab的绝对值*向量ad的绝对值*cos(90°-b)=向量的ac绝对值*向量ad的绝对值*cos(90°-c)所以csinb=bsinc即b/sinb=c/sinc(2)当d落在bc的延长线上时，同样可以证得第二篇：用向量法证明正弦定理教学设计用向量法证明正弦定理教学设计一、教学目标1、知识与技能：掌握正弦定理
7、的内容及其证明方法；会运用正弦定理解决一些简单的三角形度量问题。2、过程与方法：让学生通过向量方法证明正弦定理，了解知识之间的联系，让学生在应用定理解决问题的过程中更深入地理解定理及其作用。3、情感、态度与价值观：通过正弦定理的发现与证明过程体验数学的探索性与创造性，让学生体验成功的喜悦。二、教学重难点分析重点：正弦定理的向量证明过程并运用正弦定理解决一些简单的三角形度量问题。难点：正弦定理的发现并证明过程以及已知两边以及其中一边的对角解三角形时解的个数的判断。三、教学过程1.借助rt△abc，中找出边角关
8、系。在rt?abc中，设bc=a,ac=b,ab=c,根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sina=,sinb=,sinc=,则在这三个式子中，能得到c===从而在直角三角abc形abc中，??csinsinsin2.那么在任意三角形中这个结论是否成立？通过向量进行证明。过点a作单位向量j?ac，由向量的加法可得ab?ac?cb??????????????则j?ab?j?(ac?cb)????????????????∴j?ab?j?ac?j?cb??????????????????????????jabco
9、s?900?a??0?jcbcos?900?c?ac?∴csina?asinc，即bc??????n同理，过点c作j?bc，可得从而asian?b?sbinsinc从上面的研探过程，可得以下定理3.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即abc??sinasinbsinc4.总结正弦定理适用范围范围a：已知三角形的两边及其中一边的对角，求另外一边的对角范围b：已知三角形两角一边求出另外一边5.定
