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1、Galton钉板实验一、实验目的与要求1.复习概率论中随机变量、概率分布、二项分布、均值和分布函数等概念。2.理解Galton钉板实验中小球落入格子所服从的规律。3.了解Matlab软件中进行动両演示的命令。4.掌握Matlab软件中计算二项分布概率、产生二项分布随机数的命令，掌握计算离散型随机变量数学期望的方式。5.掌握Matlab软件中进行随机模拟的方法。二、问题描述所有现象的“因”和“果”，即“条件”和“结果”之间在客观上都存在着一定的规律，这种规律通常可以分成两类：一是确定性的规律，另一类是非确定性规律。对于确定性的系统，当己知条件是充分时，那么实验的结果也是确定的,即在
2、每一次试验进行以前，可以预见试验产生的结果。但若条件不充分时，就无法预测试验的结果，这就产生了“因果律的缺失”的随机现象。随机现象在实践中是大量遇到的，如掷骰子。虽然无法由“因”预测“果”，但是当进行大量重复试验时，因果之间仍会呈现一种统计规律。概率方法建立在“重复试验”的基础上，统计规律只有在大量重复后才会呈现出来，诸如随机变量。分布、均值、方差等概念无一不体现了重复的思想。以下围绕着Galton钉板模型来讨论。Galton钉板试验是由英国生物统计学家Galton设计的。在一板上有n排钉子，图1-1所示的是n=5的情况。图中15个圆点表示15颗钉子，在钉子的下方有6个格子，分别
3、编号为0，1，2,3,4,5。自Galton钉板的上方扔进一个小球任其自由下落，在下落的过程中当小球碰到钉子时，从左边落下与从右边落下的机会和等、碰到下一排钉子时乂是如此。最后落入底板中的某一个格子。图中用一条折线显示小球下落的一条轨迹。8图1-1Galton钉板模型(n=5)问题：1、向Galton钉板扔进一个小球，它将落到哪一个格子中？事先能预测吗？2、如果不断地重复仍球过程，将会发现什么结果呢？落入各个格子中的小球的堆积形状如何？反映了什么信息？3、如果这是一个抽奖游戏，扔一次小球需要付出1元代价，同时在不同的格子中设置了不同价值的奖品，如表1-给出了一种奖品设置的情况。抽
4、奖者一般的希望是奖品IH］报大于所付出的代价，这一点能够实现吗？表1-1奖品的设置格子编号012345奖品的价值乂.（元）510.20.215三、问题分析问题1、当扔小球时，关心的是小球落入格子的编号数X。在扔小球之前虽然可以知道，小球必会落到编号为0,1，2,3,4,5的某一个格子中，但是我们无法预测小球到底会落到哪一个格子中。因此小球落入格子的编号数X是一个随机变量，它的取值为0，1，2,3,4,5。问题2、小球自上方落下，经过n个钉子。每经过一个钉子吋只有两种可能结果：向右或向左。这是一个具有两个结果（成功和失败）的随机试验E，将向右视为成功，成功的概率为p,向左为失败，失
5、败的概率为7=1-p。小球碰到一个钉子下落一格，相当于进行了一次试验E。小球自顶端落下，碰到n个钉子,最终落在某个格子的过程，恰好相当于将试验E重复了n次，因此一次投球过程就是一个n重贝努利试验（将仅有两个相互排斥结果的试验E独立重复n次,构成了n重W努利试验£”）。n重W努利试验的成功次数X正好是小球向右移动的次数，它是一个随机变量。根据概率论的结果有X〜B（W，p）。对于一个随机变量，我们首先要弄清楚它的取值范围，X的取值范围为0，1，2,…，w，这是什么意思呢？在Galton钉板模型中X=0表示小球向右移动的次数，也就是小球一直向左移动，所以它恰好要落在编号为0的格子里；同
6、理X=1表示小球恰好要落在编号为1的格子里，依次类推，这就是说，X是小球最终落进的格子编号数，当然它也对应为小球向右移动的次数。二项随机变量X的分布列为：Pi=P（X=i）=C,np,q"~,yi=0，l，.，w问题3、由（1）可知，扔一次小球无法预测它到底会落到0,1，2,3,4,5中的哪一个格子，因此抽一次奖有可能获得5元收入，也可能只获得0.2元收入，即结果是不确定的。如果继续抽奖m次，将每次获得的奖品价值和加并除以m，就得到了每次抽奖的平均回报。这个平均回报也是在变化的，这个人抽奖m次的平均［HJ报可能是0.7元，另外一个人可能是1.2元。平均来说，一次抽奖的回报到底是多
7、少呢？我们可以计算一次抽奖所得冋报的平均值（数学期望），即为：1=0若此平均值大于1,说明抽奖者总体上会赢的；若平均值小于1,说明抽奖者总体上要亏的。数学期望可以理解为由于随机变量X以&的概率取到值Z（即小球落入第f格的概率为P/），这意味着抽奖者以&的概率获得价值所以若以概率&对函数值做折扣：即计算折扣值并把所有折扣值加总，就得到了理论均值或数学期望£/（叉）。根据上述公式可计算，抽一次奖所得回报的理论均值为£，（X）=5•C;）p｛）q5+2.C;心4+0.2•C52pV+0
