高尔顿钉板试验的算法实现及分析

《高尔顿钉板试验的算法实现及分析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、万方数据62中国民航飞行学院学报JournalofCivilAviationFlightUniversityofChinaMay．2008V01．19No．3高尔顿钉板试验的算法实现及分析吾

2、廿双恶(中国民航飞行学院招生处四川广汉618307)摘要：利用随机函数的生成值模拟小球下落事件的随机变量取值，给出了高尔顿钉板试验数值模拟，同时，也得到了当钉板排数n·oo时，大量小球落下后呈现的曲线几乎总是类似的，即近似于正态分布，达到了高尔顿钉板试验的算法实现及分析的目的．关键词：高尔顿钉板试验中心极限定理正态分布

3、中图分类号：021l文献标识码：Al引言在概率论的发展过程中，最早出现的研究对象是一种计算概率的数学模型，称为古典概型。一般地说，若随机试验满足下述两个条件：1)它的样本空间只有有限多个样本点：2)每个样本点出现的可能性相同。称这种试验为有限等可能试验或古典概型。在古典概型试验中有一些经典试验，高尔顿钉板试验就是其中之一。这个试验是由英国生物统计学家高尔顿设计的，它的试验模型如图l所示：图12试验过程分析自上端放入一小球，任其自由下落，在下落过程中当小球碰到钉子时，从左边落下与从右边落下的机会相等，碰到下一

4、排钉子又是如此，最后落入底板中的某一格子，因此，任意放入一球，则此球落入哪一个格子，事先难以确定。但是试验证明，如放入大量小球，则其最后呈现的曲线几乎总是类似的。也就是说，小球落入各个格子的频率趋于稳定。此试验可以说明两个问题：1)小球落入各个格子的频率趋于稳定，此频率的稳定值就是概率。2)放入大量小球，则其最后呈现的曲线几乎总是类似的，即用中心极限定理可解释此曲线近似正态分布密度函数曲线。我们给出下面一些说明：设n是钉子的横排排数，引入随机变量由于小球下落过程中碰到钉子时，从左边落⋯，f1若第i次碰钉后小

5、球向左五，置，⋯，以，五21—1善菇f沃碰着吾石、篆蒿砉(f-l，2，⋯，刀)下与从右边落下的机会相等。因此，小[老％-1]”m，⋯川E(置)=0D(置)=1(f_l，2，⋯，")令y表示，1次碰钉后小球的位置。即Y=∑x。，5l由中心极限定理，当行充分大时，乡么的分布近似于标准正态分布N(o，1)眵1。我们将每个小球下落过程进行编号，设小球下落过程中碰钉甩次，则此下落过程可编号为z=(XlX2⋯In)，我们建立一个映射击“而z：⋯矗)刮，也即y2备‘其中，y∈I-r／,／I[，它表示n次碰撞后小球的位置，

6、以此类推。设小球数目为M，则得到M个编号序列xl，X2，⋯XM，其中，毛2(‘l毛2⋯x州，经过万方数据May．2008中国民航飞行学院学报V01．19No．3JournalofCivilAviationFli曲tUniversityofChma63映射后得到位置少l，y2，⋯，％。然后，我们对这M个位置进行位置频数统计。我们用wI,W2，⋯，w2州分别存储位置在一n,-(n—1)，⋯，刀上的2n+1个点的小球数目。然后，用Z，正，⋯，六川存储相应位置的频率值，可用公式Z=14,i／M计算。最后，绘出结果图

7、形和进行分析。3算法假设有M个小球，iv／排钉子。1)确定模拟小球下落时事件向左、向右的随机函数。2)得到M个小球n次碰撞所产生的M个编号序列xl,X2，⋯xu，其中，t=(t。t2⋯xm)。利用线性函数Y。=∑而计j=i算第，个小球最终的位置，其中，只∈【--／7，，z】。3)统计出M个小球在2n+1个位置的数目分布，得到M个小球分别落在2聆+1个位置的频率。4)绘图分析。下面给出关键的代码：voidDing：：Tongji(intnumofball,intn,int+z,int+蚺{for(inti=l

8、；i<=numofball；i++){intk=-0：for(intj=1j<=nj+n{if(rand0<=RANDMAX／Z)k=k-l；if(rand0>=RAND№X，2)k=-k+l；)s[i】=k；for(inty—n；ycm；p斗){Z[巾】=o；for(i=1；i<---numofball；i++){if(s[il一--y)zb，+n】++；)>)这段代码的功能是：统计出M个小球分别落在2n+1个点上小球数目。代码说明：s数组存储小球下落的位置，z数组存储各位置球数，numofball表示小

9、球数目，挎表示钉排数目。下面给出试验结果：我们在vc++6．0环境下编制程序进行数值试验。在试验中，我们取小球数目M---2000，门=10，15，从而得到两组效果图2(a)和图2(”：图2(a)左图为程序的参数输入界面，右图为试验结果，其中M_2000，，2=10图2(a)万方数据中国民航飞行学院学报JournalofCivilAviationFlightUniversityofChinaMav．2008V01