2012届高考数学知识不等式复习讲义.doc

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1、2012届高考数学知识不等式复习讲义高中数学复习讲义第六不等式【知识图解】【方法点拨】不等式是高中数学的重要内容之一，不等式的性质是解、证不等式的基础，两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理及其变形在不等式的证明和解决有关不等式的实际问题中发挥着重要的作用解不等式是研究方程和函数的重要工具，不等式的概念和性质涉及到求最大（小）值，比较大小，求参数的取值范围等，不等式的解法包括解不等式和求参数，不等式的综合题主要是不等式与集合、函数、数列、三角函数、解析几何、导数等知识的综合，综合性强，难度较大，是高考命题的热点，也是高考复习的难点1掌握用基本不等式求解最值问题，能用基本不等式证明简单

2、的不等式，利用基本不等式求最值时一定要紧扣“一正、二定、三相等”这三个条。2一元二次不等式是一类重要的不等式，要掌握一元二次不等式的解法，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系和相互转化。3线性规划问题有着丰富的实际背景，且作为最优化方法之一又与人们日常生活密切相关，对于这部分内容应能用平面区域表示二元一次不等式组，能解决简单的线性规划问题。同时注意数形结合的思想在线性规划中的运用。第1　基本不等式【考点导读】1能用基本不等式证明其他的不等式，能用基本不等式求解简单的最值问题。2能用基本不等式解决综合形较强的问题。【基础练习】1“a>b>0”是“ab<”的充分而不必要条(填

3、写充分而不必要条、必要而不充分条、充分必要条、既不充分也不必要条)2的最小值为3已知，且，则的最大值为4已知，则的最小值是2【范例导析】例1已知，求函数的最大值分析：由于，所以首先要调整符号解：∵∴∴=4x-2+=≤-2+3=1当且仅当，即x=1时，上式成立，故当x=1时，例2（1）已知a，b为正常数，x、为正实数，且，求x+的最小值。（2）已知，且，求的最大值．分析：问题（1）可以采用常数代换的方法也可以进行变量代换从而转化为一元函数再利用基本不等式求解；问题（2）既可以直接利用基本不等式将题目中的等式转化为关于的不等式，也可以采用变量代换转换为一元函数再求解解:(1)法一：直接利用基本不等

4、式：≥当且仅当，即时等号成立法二：由得∵x>0，>0，a>0∴由>0得-b>0∴x+≥当且仅当，即时，等号成立（2）法一：由，可得，．注意到．可得，．当且仅当，即时等号成立，代入中得，故的最大值为18．法二：，，代入中得：解此不等式得．下面解法见解法一，下略．点拨：求条最值的问题，基本思想是借助条化二元函数为一元函数，代入法是最基本的方法，也可考虑通过变形直接利用基本不等式解决【反馈练习】1设a＞1,且,则的大小关系为＞p＞n2已知下列四个结论：①若则；②若,则；③若则；④若则。其中正确的是④3已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数的最小值为64（1）已知：，且：

5、，求证：，并且求等号成立的条．（2）设实数x，满足+x2=0，0<a<1，求证：≤。解：（1）分析：由已知条，可以考虑使用均值不等式，但所求证的式子中有，无法利用，故猜想先将所求证的式子进行变形，看能否出现型，再行论证．证明：等号成立当且仅当时．由以上得即当时等号成立．说明：本题是基本题型的变形题．在基本题型中，大量的是整式中直接使用的均值不等式，这容易形成思维定式．本题中是利用条将所求证的式子化成分式后再使用均值不等式．要注意灵活运用均值不等式．（2）∵≥，≤，0<a<1∴≥∴≥∴≤第2　一元二次不等式【考点导读】1会解一元二次不等式，了解一元二次不等式与相应函数、方

6、程之间的联系和转化。2能运用一元二次不等式解决综合性较强的问题【基础练习】1解不等式：（1）（2）（3）（4）解：（1）原不等式化为，解集为（2）原不等式化为，解集为R（3）原不等式化为，解集为（4）由得点拨：解一元二次不等式要注意二次项系数的符号、对应方程的判断、以及对应方程两根大小的比较2函数的定义域为3二次函数=ax2+bx+(x∈R)的部分对应值如下表：x-3-2-10123460-4-6-6-406则不等式ax2+bx+>0的解集是4若不等式的解集是，则b=__-2____=__-3____【范例导析】例解关于ｘ的不等式分析：本题可以转化为含参的一元二次不等式，要注意分类讨论解

7、:原不等式等价于∵∴等价于：（*）a>１时，（*）式等价于>0∵<１∴x<或x>２a<１时，（*）式等价于<0由２－＝知：当0<a<１时，>２，∴２<x<；当a<0时，<２，∴<x<２；当a＝0时，当＝２，∴x∈φ综上所述可知：当a<0时，原不等式的解集为（，2）；当a＝0时，原不等式的解集为φ；