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1、高考数学知识模块复习指导系列学案——不等式［I］【考点梳理】一、考试内容不等式，不等式的性质，不等式的证明，不等式的解法，含有绝对值的不等式。二、考试要求I.掌握不等式的性质及其证明，掌握证明不等式的几种常用方法，掌握两个和三个（不耍求四个和四个以上）“止数的算术平均数不小于它们的几何平均数”这两个定理，并能运用上述性质、定理和方法解决一些问题。2.在熟练掌握一元一次不等式（组）、一元二次不等式（组）的解法的基础上初步掌握其他的一些简单的不等式的解法。3.会用不等式llal—IbllWIa+bIWIal+lbl。三、考点简析1.
2、不等式知识相互关系表不等式~1｛实数.大小的比闵］［不等式性质］丄含参不式的讨论—简单的髙次不等式分式不等式组/聿性质推论种基方法T不等式的解田元次不等式（组）元不等式（组）陶合应用I2.不等式的性质（1）作川地位不等式性质是不等式理论的基本内容，在证明不等式、解不等式中都有广泛的应用。髙考屮，有时直接考査不等式的性质，有时间接考查性质（如在证明不等式、解不等式屮就间接考查了拿握不等式性质的程度）。准确地认识、运用基本性质，并能举出适当反例，能辨别真假命题是学好不等式的要点。（2）基本性质实数人小比较的原理与实数乘法的符号法则
3、是不等式性质的依据。在不等式性质中，最基木的是：①a>bobva（对称性）②a>b,b>c=>a>c（传递性）③a>boa+c>b+c（数加）a〉b,c〉Oda・c〉b・ca>b,c<0=>a-cb,c=O=>a・c=b•c）与等式相比，主要区别在数乘这一性质上，对于等式a=b=>ac=bc,不论c是正数、负数还是零，都成立，而对于不等式a>b,两边同乘以c之后，ac与be的人小关系就需对c加以讨论确定。这关系即使记得很清处，但在解题时最容易犯的毛病就是错用这一性质，尤其是需讨论参数时。（3）基木性质的推论由基木性
4、质可得出如下推论：推论1:a>b>0,c>d>0=>aobd亠、人ab推论2：a>b>0,c>d>0=>—>—dc推论3：a>b>0nan>bn（neN）推论4：a>b>0=>V^（neN）对于上述推论可记住两点：一是以上推论中比b,c,d均为正数，即在｛xlx是正实数｝中对不等式实施运算；二是直接山实数比较大小的原理出发。1.不等式的证明（1）作用地位证明不等式是数学的重要课题，也是分析、解决其他数学问题的基础，特别是在微积分中，不筹式是建立极限论的理论基础。高考中，主要涉及“a,b>0吋，a+b22伤”这类不等式，以及运用不
5、等式性质所能完成的简单的不等式的证明。用数学归纳法证明的与自然数有关命题的不等式难度较大。（2）基本不等式定理1：如果a,be｛xlx是止实数｝,那么经陌（当且仅当a=b时取号）2定理2：如果a,b,cW｛xlx是止实数｝,那么2冯abc（当且仅当a=b=c时取"二”3号）定理3：如果a、be{xlx是正实数},那么a+b~T~（当且仅当eb吋取“二”号）推论4：如果a,b,cG{xlx是正实数},那么-——j~^[abcW—+—+—abc（当H仅当a=b=c时取“=”号）山上述公式还可衍生出一些公式©4ab（a+b）一元一次
6、不等式（组）及一元二次不等式（组）解一元一次不等式（组）及一元二次不等式（组）是解其他各类不等式的棊础，必须熟2（a2+b2）,a>beR（当且仅当a=b时等号成立）②a2+b2+c2ab+bc+ca,a,b,cR（当H.仅当a=b=c时等号成立）③a2+b2+c2>丄（a+b+c）Uab+bc+ca,a,b,cWR（当且仅当a=b=c时等号成立）3@1-+-1^2（当且仅当lal=lbl时取号）ab⑤a>O,b>O,a+b=1,则abW丄等。4（4）不等式证明的三种基本方法①比较法：作差比较，根据a—b>0Oa>b,欲证a>b
7、只需证a—b>0；作商比较，当b>0时，a>bO纟>1。比较法是证明不筹式的基本方法，也是最重要的方法，有时根据题设可转b化为等价问题的比较（如幕、方根等）。②分析法：从求证的不等式出发寻找使该不等式成立的充分条件。对于思路不明显，感到无从下手的问题宜川分析法探究证明途径。③综合法：从已知的不等式及题设条件出发，运用不等式性质及适当变形（恒等变形或不等变形）推导出要求证明的不等式。1.不等式的解法（1）作用与地位解不等式是求定义域、值域、参数的取值范围时的重耍手段，与“等式变形”并列的“不等式的变形”，是研究数学的基木手段之一。
8、高考试题中，对解不等式有较高的要求，近两年不等式知识占相当大的比例。练掌握，灵活应用。(3)高次不等式解高次不筹式常用“数轴标根法”。一般地，设多项式F(x)=a(x—aj(x—a?)…(x—aj(aHO)它的n个实根的人小顺序为ai
