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1、第一章行列式习题1.11.证明：（1）首先证明是数域。因为，所以中至少含有两个复数。任给两个复数，我们有。因为是数域，所以有理数的和、差、积仍然为有理数，所以。如果，则必有不同时为零，从而。又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数，所以。综上所述，我们有是数域。（2）类似可证明是数域，这儿是一个素数。（3）下面证明：若为互异素数，则。（反证法）如果，则，从而有。由于上式左端是有理数，而是无理数，所以必有。所以有或。如果，则，这与是互异素数矛盾。如果，则有，从而有“有理数=无理数”成立，此为矛盾。所以假设不成立，从而有。同样可得。（4）因为有无数个互
2、异的素数，所以由（3）可知在和之间存在无穷多个不同的数域。2.解：（1）是数域，证明略（与上面类似）。（2）就是所有的实部和虚部都为有理数的复数所组成的集合。而复数域。（3）不是数域，这是因为他关于除法不封闭。例如。3.证明：（1）因为都是数域，所以，从而。故含有两个以上的复数。任给三个数，则有且。因为是数域，所以有且。所以。所以是数域。（2）一般不是数域。例如，我们有，但是。习题1.22.解：项的符号为习题1.31．证明：根据行列式的定义==0。所以上式中(-1)的个数和(+1)的个数一样多，(-1)是由奇排列产生的，而(+1)是由偶排列产生的
3、。同时根据行列式的定义这里包括了所有的阶排列，故可以得到全体阶排列中奇排列的个数与偶排列的个数一样多，各占一半。2．解(1)=；（2）；（3）；（4）=。（5）。3．解：（1）。（2）左端==右端。（3）。（4）原式（先依次）=。。。=。（5）原式（先依次）=。。。=。4．解：设展开后的正项个数为。则由行列式的定义有。又因为（利用）（下三角行列式）。所以有。5．证明：（1）左端=右端。（2）利用性质5展开。6．解：（3）与上面3（3）类似可得。7．解：利用行列式的初等变换及性质5。8．解：。9．证明：设原行列式=D。则对D进行依次如下变换后所得的
4、行列式D′第一列由题设中所给的5个数字构成。从而由行列式的定义可知D′可被23整除。又由行列式的性质知D′。因为23是素数，且不可能被23整除，所以D可以被23整除。习题1.41．解：(1)=；(2)=；(3)方法一+=；方法二逐次均按第2行展开可得同样结果,具体解法可参见下例。(4)逐次按第2行展开===；(5)==；(6)==；（7）换行后可得到范德蒙行列式；（8）先把第一行加到第三行，再提取第三行的公因式，换行后可得到范德蒙行列式。2．解：(1)+=；(2)=1+；（此处有笔误）(3)=，据此当时，原式=；当时，原式=。3．解：（1）将按第
5、n列展开得:=+=。（2）略（参考课本例中的叙述）。4．解：（1）交换行、列后得到三角块行列式，然后利用例1.4.6的结果；或者直接利用Laplace定理。（2）左端先做变换，再做变换，然后利用P30推论。5．解：（1）==；（2）=；（3）利用初等变换。附加：P30推论的证明：证(1)将第r+1列与r列交换,由将新的r列与r-1列交换,如此继续,直到将第r+1列交换到第1列,这样共交换r次;再将第r+2列如上方法交换至第2列,也交换了r次,如此继续直到将r+s列交换至第s列.于是交换了rs次后得到=将所得行列式的第r+1行依次与第r行,r-1行
6、,……,第1行交换.交换r 次后,r+1行交换至第1行.类似地交换r次后将r+2行交换至第2行,……,交换r次后将第r+s行交换至第s行,于是交换rs次后得:(2),(3)思路与(1)类似,证明过程略去。习题1.52．解：计算得=根据克拉默法则,当时,即时,原方程组只有零解。习题1.61．证明：方法一归化==右端.方法二归纳法当时,=结论成立.假设时结论成立,即有则当时,将的第n列看成1+0,1+0,……,1+,故可表示为2个行列式之和,而第2个行列式按第n列展开可算出为从而=+而=.所以=+=+==右端.方法三递推由证明(二)可知与存在以下递推
7、关系:=+所以=+====右端.方法四加边法===右端。2．证明：（1）注意当把行列式按第n列展开时，得到的递推公式中有三项，故归纳法第一步应验证n=1，2时均成立。而归纳法第二步应假设当时成立，去证明当n=k时成立。3．解：（2）先把除第一列外的所有列都加到第一列，然后提出第一列的公因子；再依次；然后按第一列展开，再依次；最后按最后一列展开。4．解：通过倍加行变换易知f(x)的次数最大为1；又因为如果全取零，则有f(x)=0。所以选(D)。5．看自己或别人的作业。6．解：方法一：利用课本中例1.4.3的方法。方法二：设。则有f(x)中的系数为。
8、又因为（范德蒙行列式），所以f(x)中的系数为。。。所以可得。第一章线性方程组习题2.12．证明.因,说明不全为零,故当某个,通过适当的
