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1、目录摘要1关键词1Abstract2Keywords21引言22准备知识23在应用积分中值定理时应注意以下几点34积分中值定理的简单应用44.1在力学中的应用44.2确定定积分的符号54.3求含有定积分的极限64.4估计定积分74.5证明积分不等式84.6判断某些点的存在问题94.7求与有关收敛有关的问题10积分中值定理的简单应用摘要:本文综合归纳了积分中值定理在力学、确定定积分符号、求含有定积分的极限、估计定积分、证明积分不等式、判断某些点的存在问题及求与收敛有关问题的应用.关键词:积分第一中值定理；推广的积分中值定理；估
2、计定积分TheapplicationaboutintermediatevaluetheoremofintegralAbstract:Thispaperreviewsandsummarizestheapplicationofstationaryfunctionaltheoryinintegration,mainlyregardingtothefieldofmachanics,determiningthesignsfordefiniteintegrals,evaluatingthelimitofthedediniteintegr
3、al,estimatingthedefiniteintegral,evidencingthedefiniteintegralinequality,judgingtheexistproblemsrelatedtoitandfindingsolutiontoconvergenceproblem.Keywords:Intermediatevaluetheoremofintegral；Extensionintermediatevaluetheoremofintegral;Estimatedefiniteintegral1引言积分中值
4、定理是数学分析中一个基本定理之一，同时也是定积分的一个主要性质,它建立了积分和被积函数之间的关系,它在数学很多方面都有十分重要的作用.为简单起见,文中就积分第一中值定理以及推广的积分第一中值定理的应用进行讨论.1准备知识定理2.1[1](积分第一中值定理)若在区间[a,b]上连续,则在（a,b）内至少存在一点使得定理2.2[1]（推广的积分第一中值定理）若在上连续,且在上不变号,则在至少存在一点,使得,2在应用积分中值定理时应注意以下几点(1)在应用定理2.1中要注意被积函数在区间上连续这一条件，否则结论不成立.例如：显然在
5、处间断，由于=0但在上，，所以，对任何都不能使(2)在应用定理2.2中在上不变号这个条件也不能去掉例如：令由于但所以不存在使1积分中值定理的简单应用1.1在力学中的应用(1)求平均速度设速度函数在时间区间内连续，根据定理2.1，有由力学知识知，物体的位移,则即就是物体的平均速度.例1当物体做匀变速直线运动时，即时内的平均速度：所以这个结果说明，只有当速度函数对时间均匀变化时，平均速度等于内始、末速度的算术平均值.(2)求对空间累积的平均作用力设力在位置区间内连续，根据定积分中值定理，有相对位移的平均作用力为当与位置坐标无确定
6、函数关系时，利用动能定理可得当与变量有确定函数关系时，可直接求出平均作用力.例2弹簧振子的作用力为，那么振子所受的平均作用力是：计算得，即有线性关系时，平均作用力等于质点始、末位置所受力的算术平均值.1.1确定定积分的符号定积分的几何意义是求去边多边形的面积，如能知道它的符号对我们解很多题有很大的帮助.下面来看几个实例.例3确定的符号解原式====（）其中=例4确定的符号解原式===由定理2.1得=>0其中例5确定符号解原式====>0其中07、求出结果的，但是运用了积分中值定理就能去掉定积分的积分号，起到了化难为易的效果.下面来看几个实例.例6计算的值解由定理2.1得,因为，所以可得==0例7求,其中可微,且已知解由定理2.1得=，其中所以＝1.1估计定积分若定积分的值很难求出，可以通过推广的积分中值定理化难为易，很方便估计其值.下面来看几个实例.例8试估计的值解由定理2.1得==其中，.从而得所以例9试估计的值解因为在上连续,在内可导,且在内无解,即,等号仅在时成立.故在内严格单调增,即所以由积分第一中值定理有1.1证明积分不等式含定积分式的极限的不等式的证明，
8、关键是去掉定积分号，积分中值定理和推广的积分中值定理都有这个功能.下面来看几个实例.例10设在[a,b]上连续，单调增加，证明：证明因为单调增加所以例11证明证明本题等价于在区间上求函数的最大值和最小值,令,得驻点.比较,,知为在上的最小值,而为在上的最大值.由积分中值定理得,即.1.1判
