有关“几何概型”的课堂教学探索与反思

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1、有关“几何概型”的课堂教学探索与反思唐利军摘要：本文结合具体的例题就课堂教学中的“几何概型”教学做出了一些总结与反思。关键词：古典概率；几何概率；数形结合由于与概率计算密切相关的“计数问题”还没有学习，无法用排列组合的知识来研究相关的概率问题，在进行计数时主要运用枚举法，而却另外加入了旧教材相对较少出现的几何概型，这不但更能体现新教材对知识模块完整性的考虑，也在比较中提高了学牛对古典概型的理解和掌握。一、注重辨别古典概率与几何概率的区别几何概率是在古典概率的基础上进一步的发展，是等可能事件的概念从有限向无限的延伸。要让学牛认真区分两者的关系：几何概型是无限个等可能事件，而

2、古典概型的等可能事件只有有限个。例1•①若满足，试求方程的两根都是实数的概率。分析：第①小题中的均为内的一切实数，其围成了一个边长为6的正方形，为正方形内均匀分布的无限个点，故等可能的基体事件为无限个，则为几何概率；②若集合，点的横、纵坐标分别由掷骰子确定，第一次确定横坐标，第二次确定纵坐标，试求点的概率。分析：第②小题中的基木事件为从中可重复选取两个数分别作为横坐标和纵坐标而组成的36个点，其基木事件个数是有限的，故为古典概率.二、注意等可能性角度的确定例2・①在等腰直角三角形中，在斜边上取一点，求的概率。分析：记“”为事件.由于点落在线段上，故可以认为点落在线段上是等

3、可能的，可将线段看作区域。在线段上截取，当点位于线段时，，故线段为区域。于是②如果将本题改为：在等腰直角三角形中，过直角顶点在内部任作一条射线，与线段交于点，求的概率.分析：记“”为事件.由于射线在内，故可以认为射线落在内是等可能的，可将看作区域.在线段上截取，当射线位于吋，，故为区域。于是第①小题为“在斜边上取一点”，点在线段上是等可能的，共有无限个基本事件；而第②小题为“射线在内是等可能的”，由此可见，背景相似的问题，当等可能的角度不同时，其概率是不一样的。三、注意一维变量与二维变量其至于三维变量的区别例3・在线段（）上随机地投三个点，试求由点至此三点的三条线段能构成

4、一个三角形的概率。分析：在线段上取三个点，设其所得的线段长分别为，则此题便有三个不同的变量，此为三维变量的问题。由于三点均在线段上，则需满足，其围成了一个三维的正方体区域，设“能构成三角形”为事件，当口仅当，即当点落入六面体内吋，以这为边长才能组成三角形，故所求的概率为一此题为几何概型中测度为面积之比，但由于立体几何中“平面方程”为选修部分内容，不等式表示空间的区域学生更是无法理解，所以此题不能作为课堂教学内容，只能作为一种引中拓展，让学生稍作了解即可。四、注重数形结合，特别是线性规划与几何概型的融合几何概型可以把概率问题与几何问题完美的结合，用数形结合的思想解决概率问题

5、.新教材在不等式章节增加了“不等式组表示平面区域”、“线性规划解决实际应用问题”等知识，而几何概型的有关测度需借助于线性规划来解决,所以这一部分内容更能实现有关数学知识的整合。例4・①设集合，则所表示的平面区域（不含边界的阴影部分）是（）<变式>②在一条1米长的线段上取两点，使其成三条线段，求这三条线段能围成三角形的概率。分析：由本题的条件可得截得的三条线段长分别为，其需满足的条件所围成的区域即为第①小题的结论，所以其测度需通过线性规划的知识来解决.但此题的题干的表述需要注意与例4的区别，此题为“在一条1米长的线段上取两点，使其成三条线段”可假设为二维变量，而

6、例4是“在线段（）上随机地投三个点，由点至此三点得三条线段”需设定为三维变量。能够解决此类较为复杂的问题，关键在于理解题意，寻找变量之间的内在关系，给出变量需要满足的关系式，然后再通过线性规划给出不等式组表示的区域，从而得出概率所需的有关测度，其中，数形结合是顺利解决此类问题的重要思想方法.五、注重加强探索古典概型与几何概型的内在关系例5・如下图所示，将一圆四等分，向圆盘内随机地撒两粒小米，则两粒小米都落在阴影部分的概率为多少？分析：抛一粒小米落在阴影部分的概率为，而“抛两粒小米都落在阴影部分的概率”该怎样解决呢？这个问题不能由几何概率的思想方法去考虑问题,而应该把它归结

7、为古典概型问题，若把“小米落在阴影部分”类比于“抛一枚硬币正面向上”，其实质就等价于我们所熟悉的一个问题：已知抛一枚硬币正面向上的概率为，现抛两枚硬币，两次均正面向上的概率是多少？此事件共有四个基本事件：（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反），易知其中两次均正面向上的概率为.由此可见，几何概率和古典概型是相互联系互相渗透的，我们不能把两者人为的孤立起来.所以说，古典概型与几何概型虽然是概率的两类不同的问题，有着不同的区别，但它们也不是完全隔离的，其本质上也具备通性，对它进行入的研究和探索，有助于我们对这两类问题的更深刻