高中数学第一章不等关系与基本不等式5不等式的应用学案北师大版选修4-5

《高中数学第一章不等关系与基本不等式5不等式的应用学案北师大版选修4-5》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、§5　不等式的应用1．进一步掌握不等式的性质，并应用不等式的性质解决一些简单的实际问题．2．能用定理2和定理4求函数的最值，并能解决实际应用问题．对定理2、定理4的理解(1)定理2：对任意的两个数a，b，有≥______(此式当且仅当a＝b时取“＝”号)．(2)定理4：对任意的三个数a，b，c，有________≥(此式当且仅当a＝b＝c时取“＝”号)．【做一做1】已知＋＝2(x＞0，y＞0)，则xy的最小值为________．【做一做2】函数y＝x2＋4＋(x＞0)的最小值为________．【做一做3】已知x＞0，y＞0，且＋＝1，则x＋y的最小值是(　　)．A．16B．15C．1

2、4D．13答案：(1)　(2)【做一做1】6　已知2＝＋，∵x＞0，y＞0，∴2＝＋≥2，即xy≥6＝．∴xy的最小值为6．【做一做2】3＋4　∵x＞0，∴y＝x2＋＋4＝x2＋＋＋4≥3＋4＝3＋4．当且仅当x2＝，即x＝时取“＝”号，∴所求最小值为3＋4．【做一做3】A　∵x＞0，y＞0，＋＝1，∴x＋y＝(x＋y)＝＋＋10≥6＋10＝16，当且仅当＝，即x＝4，y＝12时等号成立．故当x＝4，y＝12时，x＋y的最小值为16．1．重要不等式的理解剖析：当a，b，c∈R时，a2＋b2≥2ab，a3＋b3＋c3≥3abc；当a，b，c为正实数时，a＋b≥2，a＋b＋c≥3．两组不等

3、式成立的条件是不同的，但等号成立的条件均为a＝b＝c．2．三个正数或三个以上正数的平均值不等式的应用条件4剖析：“一正”：不论是三个数或n个数的平均值不等式都要求是正数，否则不等式是不成立的．“二定”：包含两类求最值问题，一是已知n个正数的和为定值(即a1＋a2＋…＋an为定值)，求其积a1a2…an的最大值；二是已知积a1a2…an为定值，求其和a1＋a2＋…＋an的最小值；“三相等”：取等号的条件是a1＝a2＝a3＝…＝an，不能只是其中一部分相等．题型一　利用均值不等式求函数的最值【例1】(1)求函数y＝x＋(x＜0)的最大值；(2)求函数y＝x(a－2x)(x＞0，a为大于2x

4、的常数)的最大值．分析：将函数式合理变形，再用不等式的性质求函数的最值．反思：在利用均值不等式求最值时，往往需将所给不等式变形，拆分或拼凑都是常见的方法，但在变化过程中要注意式子的等价性及符号不等式的条件．题型二　利用均值不等式解决实际问题【例2】一份印刷品，其排版面积为432cm2(矩形)，要求左右留有4cm的空白，上下留有3cm的空白，问矩形的长和宽各为多少时，用纸最省？分析：根据矩形面积与矩形长和宽的关系列出方程，再利用不等式求最值．反思：利用不等式解决实际问题时，首先要认真审题，分析题意，建立合理的不等式模型，最后通过基本不等式解题．题型三　易错辨析【例3】求函数y＝1－2x－

5、的最值．错解：y＝1－2x－＝1－．∵2x＋≥2＝2．∴y≤1－2，故y的最大值为1－2．错因分析：重要不等式a＋b≥2成立的前提条件是a＞0，b＞0．以上解题过程中没有注意这个前提条件．反思：在利用不等式进行证明或求值时，一定要注意不等式成立的条件，即“一正，二定，三相等”．答案：【例1】解：(1)∵x＜0，∴y＝x＋＝－≤－2＝－．当且仅当x＝－时，取“＝”号，∴所求最大值为－．(2)∵x＞0，a＞2x，∴y＝x(a－2x)＝·2x·(a－2x)≤2＝．当且仅当x＝时，取“＝”号．∴所求最大值为．4【例2】解：设矩形的长为xcm，则宽为cm，则总面积为：y＝(x＋8)＝432＋48

6、＋6x＋＝480＋6≥480＋6×2＝768．当且仅当x＝，即x＝24时取等号．此时宽为＝18cm．所以当矩形的长为24cm，宽为18cm时，用纸最省．【例3】正解：当x＞0时，y＝1－2x－＝1－≤1－2，当且仅当2x＝，即x＝时，等号成立．∴ymax＝1－2．当x＜0时，y＝1＋(－2x)＋≥1＋2＝1＋2，当且仅当－2x＝－，即x＝－时等号成立，∴ymin＝1＋2．1下列函数的最小值是2的是(　　)．A．y＝x＋B．y＝sinx＋C．y＝＋D．y＝tanx＋2函数y＝3x＋(x＞0)的最小值是(　　)．A．B．2C．3D．43函数y＝4sin2x·cosx的最大值与最小值的差是_

7、_________．4已知球的半径为R，球内接圆柱的底面半径为r，高为h，则r和h为何值时，内接圆柱的体积最大？答案：1．D　选项A中，x＜0时不满足；选项B中，等号取不到；选项C中，当＝时，得到x2＝－1显然不成立．故选项D正确．2．C　∵x＞0，∴y＝3x＋＝＋＋≥3＝3，当且仅当＝，即x＝时，取等号．3．∵y2＝16sin2xsin2xcos2x＝8(sin2xsin2x×2cos2x)≤83＝8×4＝，∴y2≤，当且仅当sin2x＝2c