高中数学 第一章 不等关系与基本不等式 2.1 绝对值不等式学案 北师大版选修4-5

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1、2.1　绝对值不等式1．理解含有绝对值的不等式的性质．2．掌握绝对值不等式的定理及绝对值的几何意义．3．能利用绝对值不等式证明不等式及求最值等简单问题，并认识不等式证法的多样性、灵活性．1．实数的绝对值的概念(1)定义：

2、a

3、＝(2)

4、a

5、的几何意义：

6、a

7、表示数轴上实数a对应的点与原点之间的______．(3)两个重要性质：(Ⅰ)①

8、ab

9、＝______；②＝______；(Ⅱ)

10、a

11、＜

12、b

13、⇔a2____b2．(4)

14、x－a

15、的几何意义：数轴上实数x对应的点与实数a对应的点之间的______，或数轴上表示x－a的点到______的距离．(5)

16、x

17、＋a

18、的几何意义：数轴上实数x对应的点与实数－a对应的点之间的____，或数轴上表示x＋a的点到原点的____．【做一做1】解不等式

19、x＋1

20、＞

21、2x－3

22、－2．2．绝对值不等式的定理(1)定理：对任意实数a和b，有

23、a＋b

24、≤______，当且仅当ab≥0时，等号成立．(2)定理的另一种形式：对任意实数a和b，有

25、a－b

26、≤

27、a

28、＋

29、b

30、，当且仅当______时，等号成立．(1)绝对值不等式的完整形式：①

31、a

32、－

33、b

34、≤

35、a±b

36、≤

37、a

38、＋

39、b

40、；②

41、

42、a

43、－

44、b

45、

46、≤

47、a±b

48、≤

49、a

50、＋

51、b

52、．(2)绝对值不等式的一般形式：

53、a1＋a2＋…＋an

54、

55、≤

56、a1

57、＋

58、a2

59、＋…＋

60、an

61、(n∈N＋)．【做一做2】已知

62、x－a

63、＜，

64、y－b

65、＜，求证：

66、(x＋y)－(a＋b)

67、＜c．3．

68、a＋b

69、≤

70、a

71、＋

72、b

73、的几何意义(1)如图所示，当a，b同号时，它们位于原点的同一边，此时a与－b的距离____它们到原点的距离____．(2)如图所示，当a，b异号时，它们分别位于原点的两边，a与－b的距离____a与b到原点的距离____．【做一做3】若不等式

74、x－4

75、－

76、x－3

77、≤a对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是__________．答案：1．(1)a　0　－a　(2)距离　(3)(Ⅰ)①

78、a

79、

80、

81、b

82、　②　(Ⅱ)＜　(4)距离　原点　(5)距离　距离【做一做1】分析：解含有绝对值的不等式，利用

83、a

84、＝将不等式中的绝对值符号去掉，转化成与之同解的不含绝对值的不等式(组)，再去求解．解：令x＋1＝0，得x＝－1．令2x－3＝0，得x＝，如图．(1)当x≤－1时，原不等式可化为－(x＋1)＞－(2x－3)－2，解得x＞2，与条件矛盾，无解．(2)当－1＜x≤时，原不等式可化为x＋1＞－(2x－3)－2，解得x＞0，故0＜x≤．(3)当x＞时，原不等式可化为x＋1＞2x－3－2，解得x＜6，故＜x＜6．综上，原不等式的解集为{x

85、0＜x＜6}．2．(

86、1)

87、a

88、＋

89、b

90、　(2)ab≤0【做一做2】分析：利用不等式的性质证明即可．证明：

91、(x＋y)－(a＋b)

92、＝

93、(x－a)＋(y－b)

94、≤

95、x－a

96、＋

97、y－b

98、．①∵

99、x－a

100、＜，

101、y－b

102、＜，∴

103、x－a

104、＋

105、y－b

106、＜＋＝c．②由①②，得

107、(x＋y)－(a＋b)

108、＜c．3．(1)等于　之和　(2)小于　之和【做一做3】[1，＋∞)　设f(x)＝

109、x－4

110、－

111、x－3

112、，则f(x)≤a对一切x∈R恒成立，只需a≥f(x)max．因为

113、x－4

114、－

115、x－3

116、≤

117、(x－4)－(x－3)

118、＝1，当且仅当x≤3时等号成立，即f(x)max＝1，所以a≥1．1．

119、对绝对值不等式的理解剖析：绝对值不等式实质是两个实数的和差的绝对值与绝对值的和差的关系，我们可以类比得到另外一种形式：

120、a

121、－

122、b

123、≤

124、a－b

125、≤

126、a

127、＋

128、b

129、．和差的绝对值与绝对值的和差的关系是由ab＞0，ab＜0，ab＝0三种情况来确定的，其本质是叙述两个实数的符号在各种情形下得到的结果，即这个定理本身就是一个分类讨论问题．“数”分正、负、零等不同情况讨论，往往在所难免，因此，对绝对值的认识要有分类讨论的习惯．2．绝对值不等式的几何意义剖析：用向量a，b替换实数a，b时，问题就从一维扩展到二维，当向量a，b不共线时，a＋b，a，b构成三角形，有

130、

131、a＋b

132、＜

133、a

134、＋

135、b

136、．当向量a，b共线时，a，b同向(相当于ab≥0)时，

137、a＋b

138、＝

139、a

140、＋

141、b

142、；a，b异向(相当于ab＜0)时，

143、a＋b

144、＜

145、a

146、＋

147、b

148、，这些都是利用了三角形的性质定理，如两边之和大于第三边等，这样处理，可以形象地描绘绝对值三角不等式，更易于记忆，并有利于定理的应用．题型一　利用绝对值不等式证明不等式【例1】设m等于

149、a

150、，

151、b

152、和1中最大的一个，当

153、x

154、＞m时，求证：＜2．分析：本题的关键是对题设条件的理解和运用．判断

155、a

156、，

157、b

158、和1这三个数中哪个最大．如果两两比较大小，将十分复杂，但我们可以得到一个重要的信息：m≥

159、

160、a

161、、m≥

162、b

163、、m≥1．从而利用这一条件证题．反思：分析题目时，题目中的语言文字是我们解题信息的重要来源与