高中数学第一章不等关系与基本不等式2.1绝对值不等式学案北师大版选修4

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1、2.1　绝对值不等式1．理解含有绝对值的不等式的性质．2．掌握绝对值不等式的定理及绝对值的几何意义．3．能利用绝对值不等式证明不等式及求最值等简单问题，并认识不等式证法的多样性、灵活性．1．实数的绝对值的概念(1)定义：

2、a

3、＝(2)

4、a

5、的几何意义：

6、a

7、表示数轴上实数a对应的点与原点之间的______．(3)两个重要性质：(Ⅰ)①

8、ab

9、＝______；②＝______；(Ⅱ)

10、a

11、＜

12、b

13、⇔a2____b2．(4)

14、x－a

15、的几何意义：数轴上实数x对应的点与实数a对应的点之间的______，或数轴上表示x－a的点到______的距离．(5)

16、x＋a

17、的几何

18、意义：数轴上实数x对应的点与实数－a对应的点之间的____，或数轴上表示x＋a的点到原点的____．【做一做1】解不等式

19、x＋1

20、＞

21、2x－3

22、－2．2．绝对值不等式的定理(1)定理：对任意实数a和b，有

23、a＋b

24、≤______，当且仅当ab≥0时，等号成立．(2)定理的另一种形式：对任意实数a和b，有

25、a－b

26、≤

27、a

28、＋

29、b

30、，当且仅当______时，等号成立．(1)绝对值不等式的完整形式：①

31、a

32、－

33、b

34、≤

35、a±b

36、≤

37、a

38、＋

39、b

40、；②

41、

42、a

43、－

44、b

45、

46、≤

47、a±b

48、≤

49、a

50、＋

51、b

52、．(2)绝对值不等式的一般形式：

53、a1＋a2＋…＋an

54、≤

55、a1

56、＋

57、a2

58、＋

59、…＋

60、an

61、(n∈N＋)．【做一做2】已知

62、x－a

63、＜，

64、y－b

65、＜，求证：

66、(x＋y)－(a＋b)

67、＜c．3．

68、a＋b

69、≤

70、a

71、＋

72、b

73、的几何意义(1)如图所示，当a，b同号时，它们位于原点的同一边，此时a与－b的距离____它们到原点的距离____．(2)如图所示，当a，b异号时，它们分别位于原点的两边，a与－b的距离____a与b到原点的距离____．【做一做3】若不等式

74、x－4

75、－

76、x－3

77、≤a对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是__________．答案：1．(1)a　0　－a　(2)距离　(3)(Ⅰ)①

78、a

79、

80、b

81、　②　(Ⅱ)＜　(4)距离　原点

82、　(5)距离　距离【做一做1】分析：解含有绝对值的不等式，利用

83、a

84、＝将不等式中的绝对值符号去掉，转化成与之同解的不含绝对值的不等式(组)，再去求解．解：令x＋1＝0，得x＝－1．令2x－3＝0，得x＝，如图．(1)当x≤－1时，原不等式可化为－(x＋1)＞－(2x－3)－2，解得x＞2，与条件矛盾，无解．(2)当－1＜x≤时，原不等式可化为x＋1＞－(2x－3)－2，解得x＞0，故0＜x≤．(3)当x＞时，原不等式可化为x＋1＞2x－3－2，解得x＜6，故＜x＜6．综上，原不等式的解集为{x

85、0＜x＜6}．2．(1)

86、a

87、＋

88、b

89、　(2)ab≤0【做一做2】分

90、析：利用不等式的性质证明即可．证明：

91、(x＋y)－(a＋b)

92、＝

93、(x－a)＋(y－b)

94、≤

95、x－a

96、＋

97、y－b

98、．①∵

99、x－a

100、＜，

101、y－b

102、＜，∴

103、x－a

104、＋

105、y－b

106、＜＋＝c．②由①②，得

107、(x＋y)－(a＋b)

108、＜c．3．(1)等于　之和　(2)小于　之和【做一做3】[1，＋∞)　设f(x)＝

109、x－4

110、－

111、x－3

112、，则f(x)≤a对一切x∈R恒成立，只需a≥f(x)max．因为

113、x－4

114、－

115、x－3

116、≤

117、(x－4)－(x－3)

118、＝1，当且仅当x≤3时等号成立，即f(x)max＝1，所以a≥1．1．对绝对值不等式的理解剖析：绝对值不等式实质是两个实数的和差的

119、绝对值与绝对值的和差的关系，我们可以类比得到另外一种形式：

120、a

121、－

122、b

123、≤

124、a－b

125、≤

126、a

127、＋

128、b

129、．和差的绝对值与绝对值的和差的关系是由ab＞0，ab＜0，ab＝0三种情况来确定的，其本质是叙述两个实数的符号在各种情形下得到的结果，即这个定理本身就是一个分类讨论问题．“数”分正、负、零等不同情况讨论，往往在所难免，因此，对绝对值的认识要有分类讨论的习惯．2．绝对值不等式的几何意义剖析：用向量a，b替换实数a，b时，问题就从一维扩展到二维，当向量a，b不共线时，a＋b，a，b构成三角形，有

130、a＋b

131、＜

132、a

133、＋

134、b

135、．当向量a，b共线时，a，b同向(相当于ab≥0

136、)时，

137、a＋b

138、＝

139、a

140、＋

141、b

142、；a，b异向(相当于ab＜0)时，

143、a＋b

144、＜

145、a

146、＋

147、b

148、，这些都是利用了三角形的性质定理，如两边之和大于第三边等，这样处理，可以形象地描绘绝对值三角不等式，更易于记忆，并有利于定理的应用．题型一　利用绝对值不等式证明不等式【例1】设m等于

149、a

150、，

151、b

152、和1中最大的一个，当

153、x

154、＞m时，求证：＜2．分析：本题的关键是对题设条件的理解和运用．判断

155、a

156、，

157、b

158、和1这三个数中哪个最大．如果两两比较大小，将十分复杂，但我们可以得到一个重要的信息：m≥

159、a

160、、m≥

161、b

162、、m≥1．从而利用这一条件证题．反思：分析题目时，题目中的语言文字是

163、我们解题信息的重要来源与