多变数函数的极限与连续

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1、多變數函數的極限與連續第三組組長：曾柏凱組員：林紘宇、邱勝強、林慶源、葉珉龍目錄多變數方程式多變數函數偏導數的定義偏導數的幾何意義極限與連續的定義極限值定義連續定義參考資料多變數方程式何謂多變數？大量的科學、商業、科技的方程式不只一個變數，而是兩個以上。舉例來說：產品的需求方程式常常依賴於價格和廣告，而不是單單價格。兩個以上變數的方程式的注意事項跟單變數方程式一樣。舉例來說：是雙變數方程式為三變數方程式範例一Q：月付款t年，每個月固定利率為r，貸款金額為P元每個月需付款M，當房子抵押金為95000元時，以30年每個月利率為9%時月度付款為多少?M

2、=f(P,r,t)=A：令P=95000,r=0.09,t=30所以月付多變數函數定義：令A表R2空間(二維空間)之部份集合，若對A中的每一有序數對(x,y)有唯一的實數ｚ與之對應，則稱ｚ為點(x,y)在集合Ａ內之函數，記作z=f(x,y)稱之為二元函數。集合A稱為f的定義域。f的值域由所有的實數f(x,y)組成，此點(x,y)在A中。函數y=f(x)之定義域與值域在幾何上以實數線上的點代表。對於二元函數，我們可以用在xy–平面上的點代表定義域A而實數線上的點代表值域，稱z–軸，如圖1所示。範例二Q：試求z=f(x,y)=之定義域。A：因，故其定

3、義域為。即以原點為圓心，以1為半徑，在xy–平面上，之圓心上與其內部之所有點的集合。f之圖形如圖2所示。偏導數的定義範例三Q：若，是用偏導數之定義，求與之值。A：偏導數的幾何意義考慮一個由方程式所決定的曲面。就如下面的圖３所顯示的，平面與曲面相交於平面曲線上，且這個值就是這條曲線在點的切線的斜率。因此，通過而位於平面上之切線方程式為範例四Q：試求球面與平面=1相交之曲線於P(1,2,2)之切線方程式。A：極限與連續的定義DEFINITION：多變數函數的極限的定義：，此處的是向量，

4、·

5、絕對值是向量空間的距離函數。DEFINITION：多變數函數

6、的連續稱在處連續。極限值定義一.極限值的基本定理（１）極限值的唯一性：若存在，則其值必為唯一。（２）若為多項式函數，則。（３）若存在且點以及點，則反之亦然，二.如何判斷極限值是否存在，若點及點，則（１）若且，而且，則不存在。（２）若，則不存在。範例五Q：若函數但，是決定，求此函數的極限值。A：連續定義一.連續的基本定理（１）倘若f與g在點A均為連續函數，則與與以及（k為常數且）在點A均為連續函數。（２）倘若g為單變函數且為多變數函數使得g在點A連續且f在A連續，則合成函數亦在點A連續。（３）多變數多項式函數與多變數有理函數在它們的定義域內均為連續

7、函數。範例六Q：若且，求此函數的連續性。A：參考資料1.http://www.mcu.edu.tw/department/management/stat/ch_web/etea/Calculus-2-net/(15).pdf2.http://calculus.nctu.edu.tw/upload/calculus_web/web/unit2_6.htm3.http://www.stat.nuk.edu.tw/cbme/math/calculus/cal2/c9_2/bud.htm4.http://zh.scribd.com/doc/6084222

8、9/%E7%AC%AC%E5%85%AD%E7%AB%A0-%E5%A4%9A%E8%AE%8A%E6%95%B8%E6%A5%B5%E9%99%90-%E5%81%8F%E5%BE%AE%E5%88%86-Leibnitz%E6%B3%95%E5%89%87-%E5%A4%9A%E8%AE%8A%E6%95%B8%E6%A5%B5%E5%80%BC