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1、绝对值的几何意义【知识要点】大家知道，
2、a
3、的几何意义是：数轴上表示a的点到原点的距离；
4、a－b
5、的几何意义是：数轴上表示数a、b的两点的距离．对于某些问题用绝对值的几何意义来解，直观简捷，事半功倍．【例题精讲】【例题】我们知道，
6、a
7、可以理解为
8、a-0
9、表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点A．B，分别用a，b表示，那么A、B两点之间的距离为AB=
10、a-b
11、，利用此结论，回答以下问题：（1）数轴上表示8和3的两点之间的距离是______，数轴上表示-2和5的两点之间的距离是___________，数轴上表示-3和-7的两点之间
12、的距离是__________；（2）数轴上点A用a表示，则
13、a-3
14、=5的几何意义是_____________，利用数轴及绝对值的几何意义写出a的值是___________________；(3)利用数轴及绝对值的几何意义写出该式能取得的最小值是_____________.【思路点拨】（1）根据数轴上两点间的距离公式，可得答案；（2）根据到一点距离相等的点有两个，可得a的值；（3）根据线段上的点与线段两端点的距离的和最小，可得答案．【解析】解：（1）数轴上表示8和3的两点之间的距离是5，数轴上表示-2和5的两点之间的距离是7，数轴上表示-3和-7的两点之间
15、的距离是4；（2）数轴上点A用a表示，则
16、a-3
17、=5的几何意义是数轴上表示a和3两点之间的距离是5，利用数轴及绝对值的几何意义写出a的值是-2或8；（3）说出
18、x+1
19、+
20、x+2
21、表示的几何意义数轴上点x与-1的距离与点x与-2距离的和，利用数轴及绝对值的几何意义写出该式能取得的最小值是1，故答案为：5，7，4；数轴上表示a与3两点之间的距离是5，-2或8；数轴上点x与-1的距离与点x与-2的距离的和是1．【总结升华】本题考查了绝对值，（1）数轴上两点间的距离公式，（2）到一点距离相等的点有两个；（3）线段上的点与线段两端点的距离的和最小．【例题】阅读下
22、列材料：我们知道
23、x
24、的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离；即
25、x
26、=
27、x-0
28、，也就是说，
29、x
30、表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离；这个结论可以推广为
31、x1-x2
32、表示在数轴上数x1，x2对应点之间的距离；在解题中，我们会常常运用绝对值的几何意义：例1：解方程
33、x
34、=2．容易得出，在数轴上与原点距离为2的点对应的数为±2，即该方程的x=±2；例2：解不等式
35、x-1
36、＞2．如图，在数轴上找出
37、x-1
38、=2的解，即到1的距离为2的点对应的数为-1，3，则
39、x-1
40、＞2的解为x＜-1或x＞3；参考阅读材料，解答下列问题：（1）方程
41、x+3
42、=4的解
43、为____________________；（2）解不等式
44、x-3
45、+
46、x+4
47、≥9；（3）若
48、x-3
49、-
50、x+4
51、≤a对任意的x都成立，求a的取值范围．【思路点拨】仔细阅读材料，根据绝对值的意义，画出图形，来解答．【解析】解：（1）根据绝对值得意义，方程
52、x+3
53、=4表示求在数轴上与-3的距离为4的点对应的x的值为1或-7．（2）∵3和-4的距离为7，因此，满足不等式的解对应的点3与-4的两侧．当x在3的右边时，如图，易知x≥4．当x在-4的左边时，如图，易知x≤-5．∴原不等式的解为x≥4或x≤-5（3）原问题转化为：a大于或等于
54、x-3
55、-
56、x+4
57、
58、最大值．当x≥3时，
59、x-3
60、-
61、x+4
62、应该恒等于-7，当-4＜x＜3，
63、x-3
64、-
65、x+4
66、=-2x-1随x的增大而减小，当x≤-4时，
67、x-3
68、-
69、x+4
70、=7，即
71、x-3
72、-
73、x+4
74、的最大值为7．故a≥7．【总结升华】本题是一道材料分析题，通过阅读材料，同学们应当深刻理解绝对值得几何意义，结合本题是一道材料分析题，通过阅读材料，同学们应当深刻理解绝对值得几何意义，结合数轴，通过数形结合对材料进行分析来解答题目．由于信息量较大，同学们不要产生畏惧心理．【巩固练习】1、我们知道
75、x
76、的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离；即
77、x
78、=
79、x-0
80、，
81、也就是说，
82、x
83、表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离；这个结论可以推广为
84、x1-x2
85、表示在数轴上x1，x2对应点之间的距离；例1解方程
86、x
87、=2，容易看出，在数轴下与原点距离为2点的对应数为±2，即该方程的解为x=±2例2解不等式
88、x-1
89、＞2，如图，在数轴上找出
90、x-1
91、＞2的解，即到1的距离为2的点对应的数为-1、3，则
92、x-1
93、＞2的解为x＜-1或X＞3参考阅读材料，解答下列问题：不等式
94、x+3
95、＞4的解为_____________________.2、结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示1和4的两点之间的距离是_________
96、___；表示-3和2的两点之间的距离是___________；表示
