已知一点的应力状态MPa.doc

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1、第一章1-10．已知一点的应力状态MPa，试求该应力空间中的斜截面上的正应力和切应力为多少？解：若平面方程为Ax+By+Cz+D=0,则方向余弦为：，，因此：，；Sx＝σxl＋τxym＋τxzn=Sy＝τxyl＋σym＋τzyn=Sz＝τxzl＋τyzm＋σzn=1-11已知OXYZ坐标系中，物体内某点的坐标为（4，3，-12），其应力张量为：，求出主应力，应力偏量及球张量，八面体应力。解：=100+50-10=140=100×50+50×（-10）+100×（-10）-402-(-20)2-302=600==-192000σ1=122.

2、2,σ2=31.7,σ3=49.5σm=140/3=46.7σ8=σm=46.71-12设物体内的应力场为，，，，试求系数c1，c2，c3。解：由应力平衡方程的：即：（1）（2）有（1）可知：因为x与y为任意实数且为平方，要使（1）为零，必须使其系数项为零，因此，-6-3c2=0（3）3c1-c3=0（4）联立（2）、（3）和（4）式得：即：c1=1，c2=－2，c3=31-13．已知受力物体内一点应力张量为：求外法线方向余弦为l=m=，n=的斜截面上的全应力、主应力和剪应力。解：Sx＝σxl＋τxym＋τxzn=Sy＝τxyl＋σym＋

3、τzyn=Sz＝τxzl＋τyzm＋σzn=S=111.7J1=20J2=16025J3=-806250σ3-20σ2-16025σ+806250=0方程具有三个不相等的实根！σ1=-138.2,σ2=99.6,σ3=58.61-13．在直角坐标系中，已知物体内某点的应力张量为a)MPa；b)MPa；c)MPa1）画出该点的应力单元体；2）求出该点的应力不变量，主应力和主方向、主剪应力、最大剪应力、八面体应力、等效应力、应力偏张量及球张量。解：a）点的应力单元体如下图2）a)MPa该点的应力不变量：J1=10MPa，J2=200MPa，J

4、3=0MPa，主应力和主方向：σ1=20MPa，l=m=0；n=σ2=-10MPa，l=m=n=0σ3=0MPa，l=m=0；n=主剪应力τ12=±15MPa；τ23=±5MPa；τ12=±10MPa最大剪应力τmax=15MPa八面体应力σ8=3.3MPa；τ8=12.47MPa。等效应力MPa应力偏张量及球张量。MPa；MPa；b)点的应力单元体如下图MPa该点的应力不变量：J1=10MPa，J2=2500MPa，J3=500MPa，主应力和主方向：σ1=10MPa，l=m=n=0σ2=50MPa，l=m=n=0；σ3=-50MPa，

5、l=m=n=0。主剪应力τ12=±20MPa；τ23=±50MPa；τ12=±30MPa最大剪应力τmax=30MPa八面体应力σ8=3.3MPa；τ8=41.1MPa。等效应力MPa应力偏张量及球张量。MPa；MPa；c)点的应力单元体如下图MPa该点的应力不变量：J1=-18MPa，J2=33MPa，J3=230MPa，主应力和主方向：σ1=10MPa，l=m=n=0σ2=50MPa，l=m=n=0；σ3=-50MPa，l=m=n=0。主剪应力τ12=±20MPa；τ23=±50MPa；τ12=±30MPa最大剪应力τmax=30MP

6、a八面体应力σ8=-6MPa；τ8=9.7MPa。等效应力=20.6MPa应力偏张量及球张量。；1-19．平板在x方向均匀拉伸（图1-23），在板上每一点=常数，试问为多大时，等效应力为最小？并求其最小值。图1-23（题19）解：等效应力：令，要使等效应力最小，必须使y值最小，两边微分得：等效应力最小值：1-20．在平面塑性变形条件下，塑性区一点在与x轴交成θ角的一个平面上，其正应力为σ（σ＜0），切应力为τ，且为最大切应力K，如图1-24所示。试画出该点的应力莫尔圆，并求出在y方向上的正应力σy及切应力τxy，且将σy﹑τyz及σx、τ

7、xy所在平面标注在应力莫尔圆上。图1-24（题20）解：由题意得知塑性区一点在与x轴交成θ角的一个平面上的切应力为为最大切应力K，因此可以判断该平面为主剪平面，又由于切应力方向为逆时针，因此切应力为负，其位置为应力莫尔圆的最下方，该点的应力莫尔圆如图1-25所示。图1-25第二章2-9．设，其中a、b为常数，试问上述应变场在什么情况下成立？解：对求y的2次偏导，即：（1）对求x的2次偏导，即：（2）对求x和y的偏导，即：（3）带（1）、（2）和（3）入变形协调方程（4），得：（4）即：时上述应变场成立。2-10试判断下列应变场是否存在？（

8、1），，，，，（2），，，，（1）解：对、和分别求x、y或z的2次偏导，对、和分别求x、y和z的2次偏导，则：,；（a）,；（b），；（c），；（d）将（a）、（b）、（c）和（d）代入变形协