《定积分的概念》ppt课件

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1、§1定积分的概念在很多数学和物理问题中，经常需要求一类特殊的和式的极限，这类特殊的和式的极限问题导出了定积分的概念.三个典型问题1.设求曲边梯形A的面积S(A),其中yxO2.已知质点运动的速度为，求从时3.已知非匀速分布线状物体的密度函数求线状物体的质量m.显然,这就是说,在“常值”、“均匀”、“不变”的情况下，刻a到时刻b，质点运动的路程s.可以用简单的乘法进行计算.而现在遇到的问题以下我们以求曲边梯形的面积为例，把这类问题中心思想：是“非常值”、“不均匀”、“有变化”的情形，如何来解决这些问题呢？合理地

2、归为一类特殊的和式的极限.把曲边梯形看作许许多多小的曲边梯形之和，每个小曲边梯形面积，可近似地用矩形的面积来替代，虽然为此会产生误差，但当分割越来越细的一分为二yxO时候，矩形面积之和就越来越接近于曲边梯形面积.一分为四yxO一分为八yxO一分为nyxO可以看出小矩形面积之和越来越接近于曲边梯形的面积.过程呢？可以分三步进行.1.分割：把曲边梯形A分成n个小曲边梯形a即在上找到个分点如何严格地定义这一越来越逼近曲边梯形面积的2.近似:3.逼近：不管分割多么细，小曲边梯形终究不是S总有差别.当分割越来越细时，和

3、式问题是：越细？就会越来越小.下面依次讨论这两个问题.与曲边梯形的面积矩形，因此黎曼和来表示分割T越来越细,因为可能某些的长度不趋于0.就能保证分割越来越细.总结以上分析，下面给出定积分定义.对于另外两个实际问题,也可类似地归结为黎曼和给定的能够找到的极限.定义1并称J为f在[a,b]上的及任意定积分,记作注1列极限，也不是函数极限.注2中,我们把小曲边梯形近似看作矩形时,显然要求因此定积分既不是数关于定积分定义，应注意以下几点：f(x)在每个小区间[xi–1,xi]上变化不大,这相当于要求f(x)有某种程度

4、上的连续性.[a,b]上的一致连续性,可证f(x)在[a,b]上可积.下面举例来加深理解用定义求定积分的方法.解例1存在.为方便起见,令以后将知道f(x)在[a,b]上连续时,利用f(x)在则此时黎曼和的极限化为的极限.于是注这里利用了连续函数的可积性.因为可积,所以可取特殊的分割(等分)和特殊的介点