第1讲平面向量的概念及其线性运算

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1、第1讲平面向量的概念及其线性运算一、选择题1．如图中的小网格由等大的小正方形拼成，则向量a－b等于(　　)A．－e1－3e2B．e1＋3e2[来源:学科网ZXXK]C．－e1＋3e2D．e1－3e2解析由图可知a＝2.5e1＋1.5e2，b＝1.5e1＋4.5e2，a－b＝e1－3e2，故选D.[来答案D2．已知＝a，＝b，＝c，＝d，且四边形ABCD为平行四边形，则(　　)A．a－b＋c－d＝0B．a－b－c＋d＝0C．a＋b－c－d＝0D．a＋b＋c＋d＝0解析依题意得，＝，故＋＝0，即－＋－＝0

2、，即有－＋－＝0，则a－b＋c－d＝0，选A.答案A3．已知a，b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb(λ、μ∈R)，那么A、B、C三点共线的充要条件是(　　)[来源:学+科+网]A．λ＋μ＝2B．λ－μ＝1C．λμ＝－1D．λμ＝1解析由＝λa＋b，＝a＋μb(λ、μ∈R)及A、B、C三点共线得：＝t，所以λa＋b＝t(a＋μb)＝ta＋tμb，即可得，所以λμ＝1.故选D.答案D4．设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若＝λ(λ∈R)，＝μ(μ∈R)，且＋＝2，则称A3，A

3、4调和分割A1，A2.已知平面上的点C，D调和分割点A，B，则下列说法正确的是(　　)．A．C可能是线段AB的中点B．D可能是线段AB的中点C．C、D可能同时在线段AB上D．C、D不可能同时在线段AB的延长线上解析　若A成立，则λ＝，而＝0，不可能；同理B也不可能；若C成立，则0＜λ＜1，且0＜μ＜1，＋＞2，与已知矛盾；若C，D同时在线段AB的延长线上时，λ＞1，且μ＞1，＋＜2，与已知矛盾，故C，D不可能同时在线段AB的延长线上，故D正确．答案　D5．已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是△AB

4、C的重心，动点P满足＝，则点P一定为三角形ABC的(　　)．A．AB边中线的中点B．AB边中线的三等分点(非重心)C．重心D．AB边的中点解析　设AB的中点为M，则＋＝，∴＝(＋2)＝＋，即3＝＋2，也就是＝2，∴P，M，C三点共线，且P是CM上靠近C点的一个三等分点．答案　B6．如图，正方形ABCD中，点E，F分别是DC，BC的中点，那么＝(　　)A.＋B．－－C．－＋D.－解析在△CEF中，有＝＋，因为E为DC的中点，所以＝.因为点F为BC的中点，所以＝.所以＝＋＝＋＝＋＝－.答案D二、填空题7．

5、设a，b是两个不共线向量，＝2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为________．解析　∵＝＋＝2a－b，又A，B，D三点共线，∴存在实数λ，使＝λ.即∴p＝－1.答案　－18.如图，在矩形ABCD中，

6、

7、＝1，

8、

9、＝2，设＝a，＝b，＝c，则

10、a＋b＋c

11、＝________.解析　根据向量的三角形法则有

12、a＋b＋c

13、＝

14、＋＋

15、＝

16、＋＋

17、＝

18、＋

19、＝2

20、

21、＝4.答案　49．若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足

22、－

23、＝

24、＋－2

25、，则△ABC的形状为________．解

26、析　＋－2＝－＋－＝＋，－＝＝－，∴

27、＋

28、＝

29、－

30、.故A，B，C为矩形的三个顶点，△ABC为直角三角形．答案　直角三角形10．在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且＝3，点O在线段CD上(与点C、D不重合)，若＝x＋(1－x)AC，则x的取值范围是________．解析∵＝x＋－x，∴－＝x(－)，即＝x＝－3x，∵O在线段CD上(不含C、D两点)上运动，∴0<－3x<1，∴－

31、＝λ1＋(1－λ1)(λ1∈R)，＝＋，且O、G、M三点共线，G为重心，故＝，即λ1＋(1－λ1)＝×(＋)．又∵＝h，＝k，∴λ1(h)＋(1－λ1)(k)＝(＋)．而与为三角形两邻边，∴、不共线．∴消去λ1得＝，即＋＝3.12．(1)设两个非零向量e1，e2不共线，如果＝2e1＋3e2，＝6e1＋23e2，＝4e1－8e2，求证：A，B，D三点共线．(2)设e1，e2是两个不共线的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，若A，B，D三点共线，求k的值．(1)证明　因为＝6e1＋

32、23e2，＝4e1－8e2，所以＝＋＝10e1＋15e2.又因为＝2e1＋3e2，得＝5，即∥，又因为，有公共点B，所以A，B，D三点共线．(2)解　D＝－＝e1＋3e2－2e1＋e2＝4e2－e1，＝2e1＋ke2，若A，B，D共线，则∥D，设D＝λ，所以⇒k＝－8.13．如图所示，在△ABC中，在AC上取一点N，使得AN＝AC，在AB上取一点M，使得AM＝AB，在BN的延长线上取点P，使得NP＝BN，在CM的延长线上取点Q，使得＝λ时，＝，试确定λ的