高等数学第二章导数与微分(5)

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1、2．1导数的概念2．2函数的求导法则2．3高阶导数2．4隐函数及由参数方程所确定的函数的导数2．5导数的简单应用2．6函数的微分Ch2导数与微分2.1导数的概念一、导数概念的引入二、导数的定义三、单侧导数四、函数的可导性与连续性的关系一、导数概念的引入求函数变化率的两个实例实例1质点作变速直线运动的瞬时速度.设质点的运动方程为：s=s(t).则从时刻t0到t0+t时间段内，质点走过的路程为：Δs=s(t0+t)-s(t0)在时间间隔Δt内，质点运动的平均速度为:当t0时，取极限得质点在时刻t0的瞬时速度:实例2切线问

2、题割线的极限位置——切线位置播放实例2切线问题割线的极限位置——切线位置实例2切线问题割线的极限位置——切线位置实例2切线问题割线的极限位置——切线位置实例2切线问题割线的极限位置——切线位置实例2切线问题割线的极限位置——切线位置实例2切线问题割线的极限位置——切线位置实例2切线问题割线的极限位置——切线位置实例2切线问题割线的极限位置——切线位置实例2切线问题割线的极限位置——切线位置实例2切线问题割线的极限位置——切线位置如图,如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.极限位置即二、

3、导数的定义定义1即其它形式实例1质点作变速直线运动的瞬时速度:实例2曲线y=f(x)上一点M(x0,f(x0))处的切线斜率定义2注意:注意(2)右导数:单侧导数(1)左导数:定义３左、右导数统称为单侧导数．定理1注意:由定义求导数步骤:例1解例2解例3解例4解例5解更一般地例如,例6解注意　导数的几何意义与物理意义(1)几何意义切线方程为法线方程为例7解由导数的几何意义,得切线斜率为所求切线方程为法线方程为(2)物理意义非均匀变化量的瞬时变化率.变速直线运动:路程对时间的导数为物体的瞬时速度.交流电路:电量对时间的导数为电

4、流强度.非均匀的物体:质量对长度(面积,体积)的导数为物体的线(面,体)密度.定理２若f(x)在x0处可导，则f(x)在x0处连续.证三、函数的可导性与连续性的关系注意:该定理的逆定理不成立(连续函数未必可导)例如y=

5、x

6、在x=0处连续但不可导.例7解例8解小结1.导数的实质:增量比的极限;3.导数的几何意义:切线的斜率;4.函数可导一定连续，但连续不一定可导;5.求导数最基本的方法:由定义求导数.6.判断可导性不连续,一定不可导.连续直接用定义;看左右导数是否存在且相等.思考与练习1.函数在某点处的导数有什么区别与联系?

7、与导函数2.设存在,则3.已知则4.设,问a取何值时,都存在,并求出在2.2函数的求导法则一、四则运算法则二、反函数求导法则三、复合函数的求导法则一、四则运算法则定理１证(3)证(1)、(2)略.推论例1解例2解例3解同理可得例4解同理可得例5解解例6三、小结注意:分段函数求导时,分段点导数用左右导数求.思考1、求曲线上与轴平行的切线方程.解答令切点为所求切线方程为和