高中理科数学解题方法篇值域与最值(1)

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1、●基础知识一、函数的值域的定义在函数y＝f(x)中，与自变量x的值对应的y值叫做，函数值的集合叫做函数的．函数值值域二、基本初等函数的值域1．y＝kx＋b(k≠0)的值域为.2．y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是当a>0时，值域为；当a<0时，值域为.3．y＝(k≠0且x≠0)的值域是．R{y

2、y∈R且y≠0}4．y＝ax(a>0，且a≠1)的值域是．5．y＝logax(a>0，且a≠1)的值域是.6．y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的值域分别为、、R.(0，＋∞)R[－1,1][－1,1]三、确定函数的值域的原则1．当

3、函数y＝f(x)用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y的集合．2．当函数y＝f(x)的图象给出时，函数的值域是指3．当函数y＝f(x)用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定．4．当函数由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定．图象在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合．?四、求函数的值域是高中数学的难点，它没有固定的方法和模式．常用的方法有：1．直接法——从自变量x的范围出发，推出y＝f(x)的取值范围，如y＝(x≥3)的值域为．2．配方法——配方法是求“二次函数类”值域的基本方法，形如F(x)＝af2(

4、x)＋bf(x)＋c的函数的值域问题，均可使用配方法，如y＝4x＋2x的值域为．[2，＋∞)(0，＋∞)3．反函数法——利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域．形如y＝(a≠0)的函数的值域，均可使用反函数法．此外，这种类型的函数值域也可使用“分离常数法”求解，如：y＝的值域为．(－1,1)4．判别式法——把函数转化成关于x的二次方程F(x，y)＝0，通过方程有实根，判别式△≥0，从而求得原函数的值域．形如y＝(a1，a2不同时为零)的函数的值域常用此法求解．如y＝的值域为．[－2,1]

5、5．换元法——运用代数或三角代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域．形如y＝ax＋b±(a、b、c、d均为常数，且a≠0)的函数常用此法求解，如y＝x＋的值域为．[1，＋∞)6．不等式法——利用基本不等式：a＋b≥2(a、b∈R＋)求函数的值域．用不等式法求值域时，要注意均值不等式的使用条件“一正、二定、三相等”，如y＝x＋的值域为．(－∞，－4]∪[4，＋∞)7．单调性法——确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性求出函数的值域．形如y＝的函数的值域均可使用此法求解，该函数的值域为[,＋∞)．8．

6、求导法——当一个函数在定义域上可导时，可根据其导数求最值，如y＝x3－x，x∈[0,2]的值域为．9．数形结合法——当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域和最值；或利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法求出函数的值域，如y＝的值域为．[0，＋∞)●易错知识一、值域求解失误1．求y＝sin2x＋sinx＋1的值域结果为[，＋∞)对吗？答案：[，3]2．已知函数f(x)＝log2(x2＋ax－a)的值域为R，则实数a的取值范围__________．答案：(－∞，－4]∪[0，＋∞)二、忽视定义域对值域的制约作用而失误3．已知f(x)

7、＝2＋log3x，其中x∈[1,9]，当x＝________时，函数y＝[f(x)]2＋f(x2)有最大值，最大值为________．答案：x＝313解析：先求出函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的定义域：⇒⇒1≤x≤3.∴函数的定义域为[1,3]，又y＝[f(x)]2＋f(x2)＝(2＋log3x)2＋2＋2log3x＝(log3x)2＋6log3x＋6＝(log3x＋3)2－3.∵1≤x≤3.∴0≤log3x≤1.则x＝1时有最小值6，当x＝3时有最大值13.三、区分求函数值域的方法4．求函数y＝x＋与y＝x＋的值域，虽然形式上

8、接近但采用方法却不同，前者采用的方法为________，值域为________；后者采用的方法为________，值域为________．答案：换元法(－∞，]三角换元法[－1，]解析：y＝x＋，令＝t，x＝1－t2∴y＝－t2＋t＋1，t∈[0，＋∞)∴y∈(－∞，]，y＝x＋，令x＝sinθ，θ∈[－，]∴y＝sinθ＋cosθ＝sin(θ＋)，∴y∈[－1，]．●回归教材1．(教材P1016题改编)函数y＝(x∈R)的值域是()A．(0,1]B．(0,1)C．[0,1)D．[0,1)解析：1＋x2≥1⇒∈(0,1]．答案：A2

9、．函数y＝x2＋x＋1(x≥0)的最小值为()A.B．2C．1D．3解析：∵y＝(x＋1)2＋，x≥0∴y≥＋＝1，故选C.答案：C3．值域是(0，＋∞)的函数是()A．y＝x2－x＋1B．y＝()1－xC．y＝3＋1D．y＝

10、log