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1、方程错解剖析得真知（二十）平面解析几何初步 §7.1直线和圆的方程 一、知识导学 1．两点间的距离公式:不论A(1，1)，B(2，2)在坐标平面上什么位置，都有d=
2、AB
3、=，特别地，与坐标轴平行的线段的长
4、AB
5、=
6、2－1
7、或
8、AB
9、=
10、2-1
11、.2．定比分点公式:定比分点公式是解决共线三点A(1，1)，B(2，2)，P(，)之间数量关系的一个公式，其中λ的值是起点到分点与分点到终点的有向线段的数量之比.这里起点、分点、终点的位置是可以任意选择的，一旦选定后λ的值也就随之确定了.若以A为起点，B为终点，P为分点，则定比分点公式是.当P
12、点为AB的中点时，λ=1，此时中点坐标公式是.3．直线的倾斜角和斜率的关系（1）每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率.（2）斜率存在的直线，其斜率与倾斜角α之间的关系是=tanα.4．确定直线方程需要有两个互相独立的条件。直线方程的形式很多，但必须注意各种形式的直线方程的适用范围.名称方程说明适用条件斜截式为直线的斜率b为直线的纵截距倾斜角为90°的直线不能用此式点斜式() 为直线上的已知点，为直线的斜率倾斜角为90°的直线不能用此式两点式=()，()是直线上两个已知点与两坐标轴平行的直线不能用此式截距式+=1为直线的横截距b为直线的纵截
13、距过（0，0）及与两坐标轴平行的直线不能用此式一般式，，分别为斜率、横截距和纵截距A、B不全为零5．两条直线的夹角。当两直线的斜率,都存在且·≠-1时，tanθ=，当直线的斜率不存在时，可结合图形判断.另外还应注意到：“到角”公式与“夹角”公式的区别.6．怎么判断两直线是否平行或垂直？判断两直线是否平行或垂直时，若两直线的斜率都存在，可以用斜率的关系来判断；若直线的斜率不存在，则必须用一般式的平行垂直条件来判断.（1）斜率存在且不重合的两条直线1∶，2∶，有以下结论：①1∥2=，且ｂ1＝ｂ2②1⊥2·=-1（2）对于直线1∶，2∶，当1，
14、2，1，2都不为零时，有以下结论：①1∥2=≠②1⊥212+12=0③1与2相交≠④1与2重合==7．点到直线的距离公式.（1）已知一点P（）及一条直线：，则点P到直线的距离d=；（2）两平行直线1:，2:之间的距离d=.8．确定圆方程需要有三个互相独立的条件。圆的方程有两种形式，要知道两种形式之间的相互转化及相互联系（1）圆的标准方程：，其中（，b）是圆心坐标，是圆的半径；（2）圆的一般方程：（＞0），圆心坐标为（-，-），半径为=. 二、疑难知识导析 1．直线与圆的位置关系的判定方法.（1）方法一 直线：；圆：.一元二次方程（2）方
15、法二 直线:；圆：，圆心（，b）到直线的距离为d= 2．两圆的位置关系的判定方法.设两圆圆心分别为O1、O2，半径分别为1，2，
16、O1O2
17、为圆心距，则两圆位置关系如下：
18、O1O2
19、>1+2两圆外离；
20、O1O2
21、=1+2两圆外切；
22、1-2
23、<
24、O1O2
25、<1+2两圆相交；
26、O1O2
27、=
28、1-2
29、两圆内切；0<
30、O1O2
31、<
32、1-2
33、两圆内含. 三、经典例题导讲 ［例1］直线l经过P（2,3）,且在x,y轴上的截距相等,试求该直线方程.错解：设直线方程为:,又过P(2,3),∴,求得a=5 ∴直线方程为x+y-5=0.错因：
34、直线方程的截距式:的条件是:≠0且b≠0,本题忽略了这一情形.正解：在原解的基础上,再补充这样的过程:当直线过(0,0)时,此时斜率为:,∴直线方程为y=x综上可得:所求直线方程为x+y-5=0或y=x.［例2］已知动点P到y轴的距离的3倍等于它到点A(1,3)的距离的平方,求动点P的轨迹方程.错解：设动点P坐标为(x,y).由已知3 化简3=x2-2x+1+y2-6y+9. 当x≥0时得x2-5x+y2-6y+10=0. ①当x＜0时得x2+x+y2-6y+10=0. ②错因：上述过程清楚点到y轴距离的意义及两点
35、间距离公式,并且正确应用绝对值定义将方程分类化简,但进一步研究化简后的两个方程,配方后得(x-)2+(y-3)2= ① 和 (x+)2+(y-3)2=- ②两个平方数之和不可能为负数,故方程②的情况不会出现.正解： 接前面的过程,∵方程①化为(x-)2+(y-3)2=,方程②化为(x+)2+(y-3)2=-,由于两个平方数之和不可能为负数,故所求动点P的轨迹方程为:(x-)2+(y-3)2=(x≥0)［例3］m是什么数时，关于x,y的方程（2m2+m-1）x2+（m2-m+2）y2+m+2=0的图象表示一个圆？错解：欲使方程Ax
36、2+Cy2+F=0表示一个圆，只要A=C≠0， 得2m2+m-1=m2-m+2，即m2+2m-3=0，解得m1=1，m2=-3， ∴当m=1或m=-3时，x2和y2项的
