向量代数与空间解析几何

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1、第7章向量代数与空间解析几何§1空间直角坐标系1.空间直角坐标系xzyO空间直角坐标系Oxyz坐标原点O坐标轴Ox,Oy,Oz右手系坐标平面xOy,yOz,xOzIIIIIIIVVVIVIIVIII卦限2.点的投影空间一点M在直线(或轴上)的投影空间一点M在平面上的投影••M2M••MM13.点的直角坐标xyMOzPRQM(x,y,z)有序数组(x,y,z)称为点M的坐标，记为M(x,y,z)x,y,z分别称为点M的横、纵、立坐标.原点O的坐标坐标轴上的点的坐标坐标面上的点的坐标各卦限中的点的坐标的符号討論题4.两点间距离设空间中两点M1(x1,y1,z1),M2(

2、x2,y2,z2),是否应有数轴上两点M1=x1,M2=x2,有平面上两点M1(x1,y1),M2(x2,y2),有d=

3、M1M2

4、=

5、x2–x1

6、OxyzPRQR1R2P2P1Q1Q2NM2M1由勾股定理M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2),特别地，点O(0,0,0)与M(x,y,z)之间的距离例1.在Oz轴上求与A(4,1,7)和B(3,5,2)等距离的点.解：设所求的点为M(0,0,z).由

7、AM

8、=

9、BM

10、，得化简求得作图要点坐标系.Oy轴与Oy轴垂直，单位等长；Ox轴与Oy轴交角120(或135)，单位长为Oy轴上的单位长的倍(或倍)；直

11、线.空间中本来相互平行的直线在图中依然要保持平行；作图：作点P(2,1,3),Q(1,2,-1),R(-2,-1,-1)§2向量的概念及其表示1.向量向量：既有大小又有方向的量单位向量：模等于1的向量零向量：模等于0的向量(方向任意)，记0.向量相等：①模相等,②方向相同，记a=b负向量：与a的模相等而方向相反的向量，记–a.所有向量的共性：大小、方向，因此定义模：向量的大小，记

12、

13、a

14、

15、,ABaba–aa2.向量的加法c=a+bbac=a+b平行四边形法则三角形法则c=a+bbaa1+a2+…+an运算规律：(1)a+b=b+a(交换律)(2)(a+b)+c=a+(b

16、+c)(结合律)(3)a+0=a(4)a+(–a)=03.向量减法a–b=a+(–b)a1+a2+a3+a4a1a2a3a4a–ba–bb4.数与向量的乘法a=0=0:a=0模：

17、

18、a

19、

20、=

21、

22、·

23、

24、a

25、

26、方向：>0:与a相同<0:与a相反运算律：(1)(a)=()a=(a)结合律(2)(+)a=a+a分配律(a+b)=a+b(3)1·a=a,(–1)a=–aa2aa定理1b//aR,使b=a.于是a0，设a°与a方向相同的一个单位向量，由

27、

28、a

29、

30、>0，故

31、

32、a

33、

34、·a°也与a方向相同，且

35、

36、

37、

38、a

39、

40、·a°

41、

42、

43、=

44、

45、a

46、

47、·

48、

49、a°

50、

51、=

52、

53、a

54、

55、而同时有称a°为a的单位向量.(常被用来表示向量a的方向.)5.向量在轴上的投影向量间的夹角ab=〈a,b〉=〈b,a〉限定0〈a,b〉向量在轴u上的投影数值uOM1u1M2u2M2=

56、

57、a

58、

59、cos〈a,u〉a(1)(2)uM1M2u1u2M3u3a1a25.向量的分解和向量的坐标例1.设P1与P2为u轴上的两点，坐标分别为u1和u2；又e为与u轴正向一致的单位向量，则事实上,若u1u2,有且与e反向，故若u1=u2,有0；又0故也有OxyzM2M1PRQR1R2P2P1Q1Q2N但称

60、为在Ox,Oy,Oz轴上的分向量.jxyzikO令i,j,k分别为沿Ox,Oy,Oz坐标轴正向的基本单位向量.记点P1,P2的坐标为x=x1,x=x2；OxyzM2M1PRQR1R2P2P1Q1Q2N点Q1,Q2的坐标为y=y1,y=y2；点R1,R2的坐标为z=z1,z=z2.由例1知故有即这是向量a在三个坐标轴上的分解式.记则显然ax,ay,az便是向量a在三个坐标轴上的投影.由于a(ax,ay,az)称(ax,ay,az)为a的坐标；记a=(ax,ay,az)显然0=(0,0,0)向径：向量OM称为点M的向径.OM(x,y,z)xyz•设M(x,y,z)，则有O

61、M=(x,y,z).从而MOM6.向量运算的坐标表示式设a=(ax,ay,az)，b=(bx,by,bz)，Rab=(axi+ayj+azk)(bxi+byj+bzk)=(axbx)i+(ayby)j+(azbz)k=(axbx,ayby,azbz)a=(axi+ayj+azk)=(ax)i+(ay)j+(az)k=(ax,ay,az)例1.已知a=(4,-1,3)，b=(5,2,-2)，求2a+3b.解.2a+3b=2(4,-1,3)+3(5,2,-2)=(23,4,0)例2.设点A(x1,y1