例谈用几何变换思想指导初中几何的学习

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1、例谈用几何变换思想指导初中几何的学习义乌市廿三里初中陈建新322013[摘要]几何变换的思想拓宽了认知初中几何课程的视野，用几何变换的方法来处理初中几何课程的难点问题已经越来越受到重视。文章通过例题，分类解析全等变换、相似变换以及几何变换的综合应用等在解题中的应用。关键词：几何变换；学法指导；初中数学；平面几何；数学思想一、从几何发展史看几何变换以《几何原本》为代表的古希腊数学将逻辑学引入几何,开创了用定义公理(也包括公设)定理来阐释几何的公理化逻辑论证的先河,以逻辑推理能力为主要表现的理性精神得到充分显现.但是希腊几何缺乏对于运动的阐释,在整个《几何原本》

2、[1]中,并没有从图形运动变化的角度来认识图形及几何问题,《几何原本》中关于图形的数量及位置关系的讨论完全是静止地、技巧地构造三角形全等的方法来展开的.在解析、分析及集合论、群论的基础上发展起来的几何变换可以有效地解决传统欧氏几何课程中的上述不足.把几何变换引入传统欧氏几何既能保持欧氏几何在论证上的优点,又能很好地克服欧氏几何所缺乏运动变换的观念。1872年，德国数学家克莱茵在《爱尔兰根纲领》中将几何变换用于认识欧氏几何,促成了人类对几何本质的深刻认识:“一种特定的几何学就是研究图形在一个特定的变换群下维持不变的那些性质的学问。例如，平面的欧氏几何，是那些图形性

3、质在旋转、平移、镜射以及相似性下维持不变的研究。因此，当两个三角形全等时，如果由欧氏的一个对称、一个平移、一个旋转，以及可能是一个镜射的组合变换，其中一个可以变换到另一个”[2]“几何学中的不同方法采用的起始公设就可以这样来表征，即它们都是处理某个简单的线性变换群的不变理论。”[3]于是同一类里的所有图形所共有的几何性质和几何量就是这个变换群下的不变性和不变量；反过来，如果图形在这个变换群中一切变换下的不变性和不变量必定是同一个等价类中一切图形所共有的性质。这样就可以利用变换群的观点来讨论或研究相应的几何学。[4]由于欧氏平面上的正交变换构成群，因此可以利用正交

4、变换建立合同（全等）概念，即一个图形与经过正交变换所得到的对应图形合同。这样欧氏几何就成为研究同一等价类里一起图形所共有的性质，图形关于正交变换群下的不变性、不变量所构成的所有命题就自然构成欧氏几何的研究内容。从而，从几何变换的观点来认知几何，不仅几何的本质能够得到深刻的揭示，而且从几何变换的观点揭示几何，还能很好的沟通几何与现代数学的联系，有力地消除欧氏几何的“孤岛”效应，正如史宁中所说“……把变换的思想讲了，……这样就能克服两个缺点：知识陈旧和不直观的问题”[5].8纵观当前我国的初中数学，领悟数学基本思想是新课标明确提出的教学基本要求。几何变换本身及其应用

5、过程蕴含了丰富的数形结合、转化与化归、分类讨论、建模等基本数学思想；另一方面，从实用的角度看，几何变换问题是中考压轴题的难点热点问题，运动观点的应用也有利于初中生发现问题、、提出问题、分析问题和解决问题。几何变换的思想拓宽了认知初中几何课程的视野，用几何变换的方法来处理初中几何课程的难点问题是“把教学建立在现代数学的基础上，使中学课程的风格和语言接近于现代数学的风格和语言，使学生的思维向现代数学思维发展”[6]的一个显著体现，已经越来越受到重视。我国2011版的义务教育数学课程标准就明确规定了有关几何变换的课程内容[7]～[8].一、例谈初中几何中的几何变换（一

6、）全等变换在平面到自身的一一变换下，如果任意线段的长和它的象的长总相等，那么这种变换叫做全等变换，或称合同变换。一般来说，初中教科书中都只是简单地指出“能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形”。但是如何才能实现处于特定位置上的两个图形（线段、三角形等）之间的重合呢？下面，我们从几何变换的角度来讨论。1.平移变换平移变换就是将平面图形上的所有点都按照固定的方向，移动相同的距离。也就是说，平移变换将平面上的所有点都进行一次平行移动，保持各条线段长度，各条直线所形成的角度不发生变化。也可以认为平移变换只是改变了图形的位置，不改变图形的大小和特征。例1在等腰梯形ABCD

7、中，AD∥BC，对角线AC和BD相交于点，已知，且，求梯形的腰长。分析与解由于两条对角线AD与BC相交，不直接构成三角形，因此，可以考虑“平移变换”使两条对角线在同一三角形中，这样就可以使条件聚集，从而使问题得以解决。过点做DF∥AC交的延长线与一点，又过点做等腰梯形ABCD的高DG。由四边形ACFD是平行四边形，所以△BDF是等腰三角形。由题意知BD=BF=12.△BDF的高。因为DF∥AC且BE:DE=5:1，故有CF:BF=1:6，从而BC=10,GC=BC-BG=4，又因，所以。评析此题是平移变换的一个最基本应用。AC平移到DF的变换过程保持了线段大小不

8、变即DF=AC,角度不变