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1、泰勒公式及其若干应用摘要：泰勒公式在分析和研究数学中有着重要应用,他可以应用于证明定积分不等式,求极限,判断函数极值,利用余项估计误差,求高阶导数在某点的数值等,下面我们来了解泰勒公式及它在某些方面的应用.关键词：泰勒公式函数极限敛散性对于一些比较复杂的函数,为了便于研究,往往希望用简单的函数来近似表达.多项式函数是最为简单的一类函数,它只要对自变量进行有限次的加、减、乘三种算术运算,就能求出其函数值,因此,多项式经常被用于近似地表达函数,这种近似表达在数学上常称为逼近.数学家泰勒在这方面作出了不朽的贡献.其研究结果表明:具有直到阶导数的函数在一个点的邻域内的值可以用函数在该点的函数
2、值及各阶导数值组成的次多项式近似表达.此外,泰勒公式还具有十分广泛的应用.一、泰勒及泰勒公式1、泰勒简介泰勒(Taylor,Brook)英国数学家.1685年8月18日生于英格兰德尔塞克斯郡的埃德蒙顿市,1731年12月29日卒于伦敦.泰勒出生于英格兰一个富有的且有点贵族血统的家庭.父亲约翰来自肯特郡的比夫隆家庭.泰勒是长子.进大学之前,泰勒一直在家里读书.泰勒全家尤其是他的父亲,都喜欢音乐和艺术,经常在家里招待艺术家.这对泰勒一生的工作造成了极大的影响,这从他的两个主要科学研究课题:弦振动问题及透视画法就可以看出来.1701年,泰勒进剑桥大学的圣约翰学院学习.1709年,他获得法学
3、学士学位.1714年获法学博士学位.1712年,他被选为英国皇家学会会员.从1714年起担任皇家学会第一秘书,1718年以健康为由辞去这一职务.由于工作及健康上的原因,泰勒曾几次访问法国并和法国数学家蒙莫尔多次通信讨论级数问题和概率论的问题.1708年,23岁的泰勒得到了“振动中心问题”的解,引起了人们的注意.他的两本著作：《正和反的增量法》及《直线透视》都出版于1715年,它们的第二版分别出于1717和1719年.从1712到1724年,他在《哲学会报》上共发表了137篇文章,其中有些是通信和评论.文章中还包含毛细管现象、磁学及温度计的实验记录.泰勒以微积分学中将函数展开成无穷级数
4、的定理著称于世.这条定理大致可以叙述为:函数在一个点的邻域内的值可以用函数在该点的值及各阶导数值组成的无穷级数表示出来.然而,在半个世纪里,数学家们并没有认识到泰勒定理的重大价值.这一重大价值是后来由拉格朗日发现的,他把这一定理刻画为微积分的基本定理.2、 泰勒公式定理：若在点有直到阶的连续导数,则:其中,在和之间,称为拉格朗日型余项.这就是函数在点附近的关于的幂函数展开式,也叫泰勒公式.余项还可有如下形式:,称为皮亚诺型余项.拉格朗日型余项(在和之间)皮亚诺型余项二、泰勒公式的应用1、应用泰勒公式证明定积分不等式泰勒公式在定积分不等式的证明方面也有着重要的应用.应用的关键在于:(1
5、)根据题设条件如何选择要展开的函数;(2)在哪一点的邻域将函数展开.要解决好这两个关键,其中蕴含着一些技巧.例1:设在上单调递增,且,证明分析:题设条件告知函数二阶可导且,高阶导数的存在,提示我们尝试使用泰勒公式.因为不等式左边被积函数是,右边有、,我们不妨对7,将在点处展开为泰勒公式,再另进而找出与、的关系.证明:对,在点处的一阶泰勒展开式为:,其中在与之间.因为,所以(1)将分别代入(1)并相加,得(2)对(2)的两边在上积分,则由于因此因此故由例题可知,当已知被积函数二阶或二阶以上可导,而且已知最高阶导数的符号时,用泰勒公式证明定积分不等式往往具有满意的效果.一般情况下直接写出
6、的泰勒展开式(根据题意对展开式进行放缩),然后再对两边积分证得结果.2、利用泰勒公式求极限在需要用到泰勒公式时,必须要搞清楚三点：（1）展开的基点；（2）展开的阶数；（3）余项的形式.其中余项的形式,一般在求极限时用的是带皮亚诺型余项的泰勒公式,在证明不等式时用的是带拉格朗日型余项的泰勒公式.而基点和阶数,要根据具体的问题来确定.为了简化极限运算,有时可用某项的泰勒展开式来代替该项,使得原来函数的极限能简便的求出.7例2:求极限分析：本题如果不用泰勒公式,直接用洛必达法则,也能计算,但必须要用六次洛必达法则,而且导数会越求越复杂.用泰勒公式就会方便得多．基点当然取在点,余项形式也应该
7、肯定是皮亚诺型余项．问题是展开的阶数是几？一般是这样考虑:逐阶展开,展开一项,消去一项,直到消不去为止．首先将分子上函数进行展开,为此写出和的泰勒展开式．的第一项是,的第一项是,所以的第一项是,与后面的消去了．再将它们展开一项,得到的前两项是,所以还要将他们再展开一项,对分母也是一样.解：原式3、利用泰勒公式判断函数极值讨论函数极值通用的方法是：当且（或）时,是的极小（大）值.但如果此时,此方法不能判别是否为极值点,可用泰勒公式.比如：若在点处一、二、三阶
