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1、以正方形为载体的中考试题赏析 正方形是初中数学的重要知识内容，纵观2008年全国各地中考试题，可以发现诸多以正方形为载体，结合其它数学知识的优秀试题，格调清新、构思巧妙，较好的考察了学生的基础知识、学习能力和思维水平.现拮取几例加以赏析： 1与拼图相结合,注重考察学生的观察能力. 例1(湖南湘潭市)如图1，将一副七巧板拼成一只小猫，则下图中∠AOB= . 解析观察发现这里正方形内的七巧板有5块是等腰直角三角形，1块正方形和1块锐角为45°的平行四边形。利用数字标出组成正方形和小猫的七巧板之间的对应关系，如图2所示，∠AOB内部的两块
2、是等腰直角三角形，则∠AOB=90°. 例2(湖北荆门市)用四个全等的矩形和一个小正方形拼成如图3所示的大正方形，已知大正方形的面积是144，小正方形的面积是4,若用x，y表示矩形的长和宽(x＞y)，则下列关系式中不正确的是() (A)x+y=12．(B)x－y=2．(C)xy=35．(D)x＋y=144． 解析观察拼图3可发现:大正方形的边长是矩形的长和宽之和；小正方形的边长是矩形的长和宽之差.由大正方形的面积是144可知其边长是12,即x+y=12①；由小正方形的边长是4可知其边长是2,即x-y=2②,因此选项A和B的关系式均
3、正确.解①、②得x=7,y=5.因此：xy=35,x＋y=74.所以答案为选择D. 点评例1、例2的拼图试题在教材中是具有相应原型的，这里改编成中考试题可谓老树发新枝。事实上学生若能认真观察图形的本身特点进而找到相应数量关系，准确解答并不是件难事。 2与多边形、圆相结合,注重考察学生对几何性质的综合运用. 例3(陕西省)如图4，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ADC+∠BCD=90°，且DC=2AB，分别以DA、AB、BC为边向梯形外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的关系是． 解析此题中所求三个正方形
4、的面积S1、S2、S3之间的关系实质是求梯形ABCD的两个腰长及上底边边长 三者的平方关系.可利用梯形的高来建立桥梁 作用.如图5，分别过点 A、B做AE⊥DC,BF⊥DC, 垂足分别为E、F.设 梯形ABCD的高为h, AB=a,DE=x,则DC=2a,FC=a-x.由于∠ADC+∠BCD=90°，可证得△AED∽△CFB，有h2=ax-x.S1=AD2=h2+x2=ax,S2=a2,S3=BC2=h2+(a－x)2=a2－ax.因此:S1+S3=S2. 例4(江苏南通市)在一次数学探究性学习活动中，某学习小组要制作一个
5、圆锥体模型，操作规则是：在一块边长为16cm的正方形纸片上剪出一个扇形和一个圆，使得扇形围成圆锥的侧面时，圆恰好是该圆锥的底面．他们首先设计了如图6所示的方案一，发现这种方案不可行，于是他们调整了扇形和圆的半径，设计了如图7所示的方案二．（两个方案的图中，圆与正方形相邻两边及扇形的弧均相切．方案一中扇形的弧与正方形的两边相切） （1）请说明方案一不可行的理由； （2）判断方案二是否可行？若可行，请确定圆锥的母线长及其底面圆半径；若不可行，请说明理由． 解析(1)因为扇形ABC的弧长＝×16×2π＝8π，因此圆的半径应为4cm．由于
6、所给正方形纸片的对角线长为cm，而制作这样的圆锥实际需要正方形纸片的对角线长为cm，由于，所以方案一不可行． (2)设圆锥底面圆的半径为r，圆锥的母线长为R，则①,②,由①②，可解得，．故所求圆锥的母线长为cm，底面圆的半径为cm． 点评将正方形与多边形、圆结合是中考中出现频率较高的题目。此类题目涉及知识点较多，跨度较大，需要学生具有较为扎实的基本功，具有综合运用相关数学知识的能力。 3与“动点问题”相结合,注重考察学生对不变因素的探究能力.例5(湖北武汉市)正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P是对角线AC上一动点，过点P
7、作PF⊥CD于点F。如图8，当点P与点O重合时，显然有DF＝CF． (1)如图9，若点P在线段AO上（不与点A、O重合），PE⊥PB且PE交CD于点E.①求证：DF＝EF；②写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系，并证明你的结论； (2)若点P在线段OC上（不与点O、C重合），PE⊥PB且PE交直线CD于点E。请完成图10并判断(1)中的结论①、②是否分别成立？若不成立，写出相应的结论（所写结论均不必证明） 解析(1)①如图11过点P做PH⊥BC,垂足为点H,连接PD.此时四边形PFCH为正方形.容易证出△APB≌△APD,推
8、得∠BPC=∠DPC，进一步可得∠BPH=∠DPF；由∠BPH+∠HPE=90°,∠EPF+∠HPE=90°，得∠BPH=∠EPF.因为PE⊥DC,可证得DF=FE. ②由EF+CE=PC得:DF=EF=
