毕业论文-特征值与特征向量的应用

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1、本科生毕业论文设计特征值与特征向量的应用作者姓名：卢超男指导教师：兰文华所在学部：信息工程学部专业：数学与应用数学班级（届）：2013届2班二〇一三年四月二十六日目录摘要1绪论21特征值和特征向量31.1特征值与特征向量的概念31.2特征值与特征向量的性质32矩阵的特征值和特征向量的求法42.1具体的数字矩阵42.2抽象的矩阵42.3相似矩阵52.4实对称矩阵63特征值和特征向量在生活中的应用83.1经济发展与环境污染的增长模型83.2莱斯利（Leslie）种群模型11参考文献18英文摘要19摘要特征值与特征向量是高等代数中一个重要的部分，并在理论和学习

2、及实际生活，特别是现代科学技术方面都有很重要的作用.本文主要讨论并归纳了特征值与特征向量的性质，通过实例展现特征值与特征向量的优越性与便捷性，探讨特征值与特征向量及其应用有着非常重要的价值.正文共划分为三个大部分，第一部分，是对特征值与特征向量概念、性质的充分总结。这是为了更好的利用定义和性质来解决相关的矩阵习题；第二部分，是具体的将矩阵分类，按照矩阵的类型与特征值和特征向量的性质进行匹配，具体的解决问题并有相关的例题。第三部分，是举出特征值与特征向量在生活的具体事例，来展示他的应用性。特征值与特征向量还有很广泛的用途，本文只是对特征值与特征向量概念、性

3、质，在数学矩阵与生活中的应用进行简短的研究归纳。关键词：特征值，特征向量，矩阵绪论在已有研究的基础上，该文给出了特征值与特征向量的概念及其性质，特征值与特征向量性质是最基本的内容，特征值与特征向量的讨论使得这一工具的使用更加简捷便利，对矩阵的特征值与特征向量的计算进行详尽例子的阐述和说明.该文重点介绍了对特征值与特征向量在不同类型矩阵中的应用探究,阐述了特征值和特征向量在矩阵运算中的作用，在例题解析中运用一些特征值与特征向量的性质和方法，使问题更简单，运算上更方便，是简化有关复杂问题的一种很好而有效途径.该文就是通过大量的例子加以说明运用特征值与特征向量

4、的性质可以使问题更加清楚，从而使高等代数中的大量习题迎刃而解，把特征值与特征向量在解决实际问题中的优越性得到了很大的展现。291特征值和特征向量1.1特征值与特征向量的概念定义1，设是数域上的线性空间Ｖ的一个线性变换，如果对于数域中的一数，存在一个非零向量，使得那么称为的一个特征值，而称为的属于特征值的一个特征向量。定义2，设是n阶矩阵，若存在数及非零的n维列向量，使得成立，则称是矩阵特征值，称非零向量是矩阵属于特征值的特征向量。（注：特征向量是非零向量）行列式称为矩阵的特征多项式。称为矩阵的特征方程。1.2特征值与特征向量的性质1）如果都是特征值所对应

5、的特征向量，则的线性组合（非0时）仍是属于的特征向量。（注：该性质说明的特征向量不是唯一的，但反过来，一个特征向量只能属于一个特征值。）2）属于不同特征值的特征向量是线性无关的，并且当时矩阵的k重特征值时，矩阵属于的线性无关的特征向量的个数不超过k个。（注：因A只有n个特征值，故A的特征向量虽有无穷多个，但线性无关的至多有n个，并且若是矩阵A的不同特征值，分别为的特征向量，则与的线性组合不再是A的特征向量。）3）特征值的和等于矩阵主对角线上元素之和，特征值的乘积等于矩阵A行列式的值，即4）n阶矩阵A和他的转置矩阵有相同的特征值。5）n阶矩阵A可逆的充分必

6、要条件是，他的任一特征值均不等于零。6）若是矩阵A的特征值，则对任何正整数k,是的特征值。292矩阵的特征值和特征向量的求法2.1具体的数字矩阵对于具体的数字矩阵的步骤如下：1）先有具体的特征方程求出矩阵A的全部特征值（i=1,2,3,、、、n,）,其中可能有重根，2）对每个不同的特征值，分别解齐次方程组，3）求出方程组的基础解析（注：设，基础解析为、、、，则矩阵A属于特征值的全部特征向量为（其中，···是不全为零的任意常数。）例1，求矩阵的特征值和特征向量？解：本题可以由特征方程，即当时，得当时，得当所以A的特征值是相应的特征向量分别是其中2.2抽象的

7、矩阵抽象矩阵，要根据特征值与特征向量的定义及性质推导出特征值的取值。例2，设A是3阶矩阵，是3维线性无关的列向量，且29求矩阵A的特征值和特征向量。解：由知是A的特征值，是的特征向量。由已知条件，有记由线性无关，知矩阵P可逆，其中因为相似矩阵有相同的特征值，而矩阵B的特征多项式所以矩阵A的特征值是-1，-1,0.对于矩阵B，所以矩阵B关于特征值的特征向量是若即那么矩阵A关于特征值的特征向量是因此，分别是矩阵A关于特征值和的特征向量，（）。2.3相似矩阵定义1：设A，B是n阶矩阵，如存在可逆矩阵P，使则矩阵A与B相似，记29利用特征值和特征向量解决矩阵的相

8、似对角化，其解题步骤：第一歩，先求出矩阵A的特征值：第二步，再求出所对应的线性无