2013考研数学高数公开课-中值定理辅导讲义

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1、公开课一:中值定理及应用一、预备知识1、极值点与极值—设连续,其中。若存在,当时,有,称为的极大点;若存在,当时,有,称为的极小点,极大点和极小点称为极值点。2、极限的保号性定理定理设,则存在,当时,,即函数极限大于零则邻域大于零;极限小于零则邻域小于零。【证明】设,取,因为,由极限的定义,存在,当时,,于是。3、极限保号性的应用【例题1】设,讨论是否是极值点。【例题2】(1)设,讨论是否是的极值点;(2)设,讨论是否是的极值点。【解答】(1)设,即,由极限的保号性,存在,当时,有。当时,;当时,。显然不是的极值点。(2)设,即,由极限的保号性,存在,

2、当时,有。当时,;当时,。显然不是的极值点。【结论1】设连续函数在处取极值,则或不存在。【结论2】设可导函数在处取极值,则。二、一阶中值定理定理1(罗尔中值定理)设函数满足:(1);(2)在内可导;(3),则存在,使得。定理2(Lagrange中值定理)设满足:(1);(2)在内可导,则存在,使得。【注解】(1)中值定理的等价形式为:,其中;,其中。(2)对端点有依赖性。(3)端点可以是变量,如,其中是介于与之间的的函数。定理3(Cauchy中值定理)设满足:(1);(2)在内可导;(3),则存在,使得。题型一:证明【例题1】设,,证明:存在使得。【例

3、题2】设曲线,,在内二阶可导,连接端点与的直线与曲线交于内部一点,证明:存在,使得。【例题3】设,在内可导,且,证明:存在,使得。题型二:结论中含一个中值,不含,且导出之间差距为一阶【例题1】设,在内可导,,证明:存在,使得。【例题2】设,在内可导,,证明:存在,使得。【例题3】设,在内二阶可导,且,证明:存在,使得。题型三:含中值情形一:含中值的项复杂度不同【例题1】设,在内可导,且,证明:存在,使得。【例题2】设,在内可导,证明:存在,使得。情形二:含中值的项复杂度相同【例题1】设,在内可导,且。(1)证明:存在,使得。(2)证明:存在,使得。【例

4、题2】设,在内可导,且,证明:存在,使得。三、高阶中值定理—泰勒中值定理背景:求极限。定理4(泰勒中值定理)设函数在的邻域内有直到阶导数,则有,且,其中介于与之间,称此种形式的余项为拉格郎日型余项,若,称此种形式的余项为皮亚诺型余项。特别地,若,则称,为马克劳林公式,其中。【注解】常见函数的马克劳林公式1、。2、。3、。4、。5、。6、。专题一:泰勒公式在极限中的应用【例题】求极限。专题二:二阶保号性问题设函数的二阶导数,这类问题主要有两个思路:思路一:设,则单调增加【例题1】设在上满足且,证明:对任意的有。【例题2】设在上满足且,证明:在内有且仅有一

5、个零点。思路二:重要不等式设,因为,所以有,其中等号成立当且仅当。【例题1】设,,且,证明:。【例题2】设,证明:对任意的及且,证明:。【例题3】设且,证明:。

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