两条相交直线的夹角

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1、课题：两条相交直线的夹角(教案)【教学目标】：1、理解两条直线相交时,直线夹角与直线方向向量夹角的关系；掌握根据已知条件求出两条相交直线的夹角；2、理解两条直线垂直的充要条件.3、体会数形结合的数学思想，培养思维能力.【教学重点】：两条相交直线的夹角.【教学难点】：夹角公式的应用.【教学过程】：一、课题引入：平面上两条直线有几种位置关系？相交、平行、重合．（垂直是相交的一种特殊情形）下面我们对两条直线的位置关系作进一步研究．（引出课题：两条直线的夹角）二、新课讲授：1.两条直线的夹角：平面上两条相交直线，它们构成四个角，是两对对顶角．如果一对是锐角，另一对是钝角，那么我们规定锐角作为它们的

2、夹角．如果四个角都是直角，那么规定两直线夹角是直角，此时也称两条直线相互垂直．平面上两条直线相交时构成两组对顶角．我们规定两条相交直线所成的锐角或直角为两条相交直线的夹角．规定：如果两条直线平行或重合，它们的夹角为０．所以，两条相交直线的夹角．2.夹角公式：如果已知两条直线的方程分别为：（其中不同时为零，不同时为零）．系数确定，方程确定，直线确定，它们的夹角也就确定，那么如何根据方程来求与的夹角？设的方向向量分别为，向量的夹角为，直线的夹角为．将直线的方向向量平移至同一起点，构成四种情形，如图．当时，；当时，．于是，．根据直线方程，可设它们的方向向量分别为：．由夹角的计算公式得：，于是，两

3、条直线的夹角公式为：．分别是直线一般式方程中前面的系数，已知这四个数就可以应用夹角公式求两直线夹角的余弦．因为余弦函数在上单调递减，所以此时角是唯一确定的．例1、已知两条直线的方程分别是：，求两条直线的夹角．解：由题意：，，即两直线的夹角为．练习：求下列各组直线的夹角.（1）（2）（3）例2、已知直线与直线，若直线和直线的夹角为，求的值.解：由得.得两直线的夹角为，称两条直线相互垂直，是两直线相交的一种特殊情形，回顾夹角公式的推导过程你能否找到一个关于两直线垂直（板书）的命题？当时，，此时，两直线相互垂直；反之，当两直线垂直时，它们的方向向量也相互垂直，所以．两条直线垂直的充要条件是：；当

4、都存在时，两条直线垂直的充要条件是：；所以两条直线垂直的充要条件也可为：或一条斜率不存在另一条的斜率为零．例3、已知直线经过点，且与直线的夹角为，求直线的方程．解１：设直线的一个法向量为，则直线的点法向式方程为：整理得：，由公式得：当时，直线方程为：；当时，，直线方程为：；所以，直线的方程为：或．注意：此处设直线的点法向式方程，而不是点方向式方程或点斜式方程是因为只有点法向式方程可以表示所有直线．解2：若直线的斜率存在，设直线的方程为：.则由题意：，解得.直线方程为：.若直线的斜率不存在，即方程为；则直线与直线的夹角为，满足题意.所以，直线的方程为：或．解3：设直线的一般式方程为：（不同时

5、为零）．则由题意：，后解同解１．三、小结：1.两条直线的夹角．2.设直线方程时要依题而设，好中选优；利用画图、数形结合的方法．课题：两条相交直线的夹角(学案)【教学目标】：1、理解两条直线相交时,直线夹角与直线方向向量夹角的关系；掌握根据已知条件求出两条相交直线的夹角；2、理解两条直线垂直的充要条件.3、体会数形结合的数学思想，培养思维能力.【教学重点】：两条相交直线的夹角.【教学难点】：夹角公式的应用.【教学过程】：1.两条直线的夹角：平面上两条直线相交时构成两组对顶角．我们规定_____________________________为两条相交直线的夹角．规定：如果两条直线平行或重合，

6、它们的夹角为_____．两条相交直线的夹角________________.2.夹角公式：如果已知两条直线的方程分别为：（其中不同时为零，不同时为零）．如何根据方程来求与的夹角？两条相交直线的夹角公式为：___________________________________．例1、已知两条直线的方程分别是：，求两条直线的夹角．练习：求下列各组直线的夹角.（1）（2）（3）例2、已知直线与直线，若直线和直线的夹角为，求的值.两条直线垂直的充要条件是：__________________________；两条直线垂直的充要条件也可为：______________________________

7、______．例3、已知直线经过点，且与直线的夹角为，求直线的方程．【课堂小结】两条直线的夹角：【课后作业】两条相交直线的夹角课后作业1．求下列两组直线的夹角：（1）；（2）；（3）与.2.已知直线，其中且，求直线与的夹角.3．（1）已知直线与直线的夹角为，求实数的值．或（2）经过点（3，5），且与直线之间成角的直线方程.或4．若直线与直线互相垂直，求的值.0或15．已知等腰三角形的斜边所在直线的方程为，直角顶点为，求两