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1、11.3(2)两条直线的夹角教学目标设计理解直线夹角公式的推导，能正确使用夹角公式求两条直线的夹角.进一步理解运用平行、垂直、夹角等概念求直线方程的一般方法..通过两条直线夹角公式的推导，形成运用数形结合、分类讨论的思想解决问题的能力教学重点及难点理解两条直线夹角公式的推导，会求两条直线的夹角.教学用具准备多媒体设备教学流程设计课堂小结并布置作业两条直线的夹角公式两条直线夹角的定义两直线的夹角复习引入运用与深化(例题解析、巩固练习)一、复习引入1．引例：判断下列各组直线的位置关系，如果相交，则求出交点的坐标（课本p16例1）．（1），；（2），；（3），．解：（参考课本p16~17）
2、[说明]复习判断两直线的平行、重合、相交，以及求相交直线的交点坐标的方法.由此引出新的课题.思考并回答下列问题1．（对于上述（1）、（2）这样），当两条直线相交时，用什么“量”来描述两条直线的相对位置呢？教具演示：两条直线相交，使其中一条直线绕定点旋转，让学生观察这两条直线的关系.解答：两条直线的夹角.2．回顾旧知：在初中平面几何中“两直线夹角”的定义是什么？解答：角是有公共端点的两条射线所组成的几何图形（如右图）．[说明]在复习旧知的基础上引人新课.二、学习新课关于两直线的夹角1、概念形成两条直线的夹角如右图，两条直线相交，一共构成几个角？它们有什么关系？怎样定义两条直线的夹角呢？
3、平面上两条直线和相交构成四个角，它们是两组互补的对顶角，因为相对而言，锐角比较简单.我们规定两条相交直线所成的锐角或直角为两条直线的夹角.如果两条直线平行或重合，规定它们的夹角为0.因此,两条直线的夹角的取值范围是，而两条相交直线夹角的取值范围是（.现在我们可以用夹角来描述两直线的相对位置关系，当给出两条直线的方程时，它们的相对位置就确定了，它们的夹角也随之确定，那么，如何根据直线方程求两直线的夹角呢？[说明]①为什么规定锐角或直角为两直线的夹角，说明其合理性；②提出问题，给学生造成认知冲突，激发学生探索欲2、夹角公式的推导分析：直线的方向——方向向量——斜率——倾斜角——夹角之间的
4、关系.由于直线的方向是由直线的方向向量或者斜率决定的，下面我们借助于这两条直线的方向向量来求得两直线的夹角.[说明]引导学生画图分析，寻找夹角、倾斜角、方向向量之间的关系.通过类比，寻求思路.设两条直线的方程分别为：（不全为零）：（不全为零）.设与的夹角为，与的一方向向量分别为与，其夹角为，且=,=，当时，则如图甲所示;当时，则,如图乙所示.于是得:.即为直线与的夹角公式.特别地,当且仅当时,与的夹角为,即与垂直.也就是说:垂直垂直(其中,分别为与的一个法向量)而由,易得当时,有,即当两条直线的斜率都存在时,与垂直的充要条件是其中分别为直线与的斜率.[说明]①培养学生周密分析，严格论
5、证的能力.由于直线的夹角与两个向量的夹角有区别,前者的范围是.后者的范围是,因此必须考虑两种情况与;②允许学生从斜率的角度考虑,但是不作为本课的重点,可留做课后探讨.3、例题分析例1：（回到引例）求下列各组直线的夹角：（1），；（2），；解：设与的夹角为，则由两条直线的夹角公式得(1)即为所求;(2)即为所求.[说明]①解决本课开头提出的问题,本环节的设计目的是使学生熟悉夹角公式的初步应用;②鼓励学生一题多解,对于小题(2),由于直线的斜率不存在,还可以数形结合(图略)，求得的倾斜角,得出与的夹角为）．例2：若直线：与：互相垂直，求实数的值.（补充）解：先把直线的方程化为一般形式：.
6、∵两直线垂直,∴，∴为所求．[说明]通过练习强调两条直线垂直的充要条件，指出公式适合的前提条件是把直线的方程化成一般式方程，以便确定系数．例3：已知直线过点，且与直线的夹角为，求直线的方程.(补充)解：（方法一）设的方程为（其中为的一法向量），则即化简为解方程，得当时，则，此时方程为当时，方程为，即综上,的方程是或.（方法二）设点斜式，按直线的斜率是否存在分两类讨论①若直线的斜率不存在，则过点直线的方程为，设它与直线的夹角，则，满足题意.②若直线的斜率存在，那么设直线的方程为,即,设它与直线的夹角，则则即,解得,所以直线的方程为,化简得,由①②可知,的方程是或.[说明]①启发学生探讨
7、“求过某定点，且与已知直线夹角为的直线方程”这类基本问题的处理方法；②一般地,求直线方程时,往往采用待定系数法:先设出的直线方程，再利用直线的夹角公式列式，求解；③分析思路，启发学生一题多解.若设点斜式，学生可能只求出一条直线，启发学生从平面几何分析，应有两条直线.但为什么有的学生求到只有一条呢？让学生在矛盾中顿悟：需要按斜率是否存在分两类讨论，而且利用直线的夹角公式时，都必须先化为直线方程的一般形式.④例3类同于教材中的例4，教材中例4给出的夹角为特殊值
