深圳大学高等数学a2补充题答案及自测题答案

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1、高等数学A2补充题班级学号姓名§7—11．在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？　第IV卦限　　　第V卦限　第VIII卦限第III卦限．2．证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形．证明：如图所示与平行且相等，结论得证．3．已知两点和,计算向量的模，方向余弦和方向角以及平行于向量的单位向量．解：方向余弦：，，．方向角：，，．平行于向量的单位向量是．4．设,,,求在轴上的投影及在轴上的分向量．解：因为　　　　　所以在轴上的投影为．　在轴上的分向量为．46高等数学A2补充题班级学号姓名§7—21．已知，和，求同时与，垂直的单位向量．解：，，设所求向量为，因为，所以　

2、因为，所以　，因为，所以求得，，故所求单位向量为方法二：所求向量故2．设，，问与有怎样的关系能使与轴垂直．解：　　因为与轴垂直，所以．3．设，，其中，，且．(1)为何值时，；(2)为何值时，与为邻边的平行四边形面积为6？解：(方法一)设，，由题意已知，，，46高等数学A2补充题班级学号姓名(1)已知，所以求得　．(2)根据题意，，得，或．(方法二)(1)，.(2)，.§7—31．一动点与两定点和等距离，求这动点的轨迹方程．解：设动点坐标为，根据题意，有等式两边平方，然后化简得．2．求以点为球心，且通过坐标原点的球面方程．解：设球面上点的坐标为，根据已知条件，得整理得　．

3、3．画出下列方程所表示的曲面：(1)；解：椭球抛物面(2)；解：圆锥面(3)．解：旋转抛物面46高等数学A2补充题班级学号姓名§7—41．画出下列曲线在第一卦限内的图形：(1)；解：(2)；解：(3)．解：2．方程组在平面解析几何与空间解析几何中各表示什么？解：在平面解析几何中，表示椭圆与直线(其实是过点(0,3)的一条切线)的交点；空间解析几何中，表示椭圆柱面与其切平面的交线(直线).3．求由上半球面，柱面及平面所围成的立体，在面和面上的投影．46高等数学A2补充题班级学号姓名解：想象该立体的形状，知向面上的投影柱面的方程为，即为圆柱面，故该立体在面上的投影为圆面：．

4、消去：，在面上的投影是柱面在面上的投影是故在面上的投影是.§7—51．求通过点且与平面平行的平面方程．解：设所求平面方程为，因为过点，所以，得，故所求平面方程为2．求过点且与连接坐标原点及点的线段垂直的平面方程．解：由条件与平面垂直，所以，所求平面方程为，即．3．求平面与各坐标面的夹角余弦．解：与平面的夹角余弦为　　与平面的夹角余弦为46高等数学A2补充题班级学号姓名　　与平面的夹角余弦为§7—61．求过点且平行于直线的直线方程．解：设所求直线为，直线的方向向量为，则直线的方向向量为，故所求直线方程为．2．求过两点和的直线方程．解：所有直线过点，两点，则，故可取，即所以

5、所求直线方程为：，即．3．求点在平面上的投影．解：过点且垂直于平面的直线方程为，代入平面方程中，，得，代入直线的参数方程，得，，，即投影点为．46高等数学A2补充题班级学号姓名第八章多元函数微分法及其应用§8-11.求函数的定义域.解：要使函数有意义，须，且即,或2．求极限：解：(方法一)(方法二).§8-21．设求一阶偏导数.解：2．设，求偏导数及解：§8-3设，求.解：46高等数学A2补充题班级学号姓名§8-41．设，求.解：令则2.设，其中，求.解：令则§8-51．设，求.解：设则由隐函数存在定理，得46高等数学A2补充题班级学号姓名2．设可微，，证明由所确定的函

6、数满足方程.(方法一)证明：设则由于，于是，由隐函数存在定理，得从而，证毕.（方法二）证明：方程两边分别对,求导：（注意）对求导：对求导：从而满足方程.§8-61．求曲线在点处的切线方程，并问该切线与轴的正向所成的角度是多少？解：(方法一)设于是，曲线在点处的切向量为46高等数学A2补充题班级学号姓名∴切线方程为：即：另外，轴上的单位向量为.由两向量夹角余弦公式得：.∴切线与轴的正向所成的角度是(方法二)设切向量所以切线方程为：即：另外设该切线与轴正向所成角为，则代入点，所以.2．证明曲面的切平面与坐标面所围成的四面体的体积为一个常数.证明：设则于是，曲面在它上面任意一

7、点处的切平面方程为：即易知，该切平面在轴上的截距分别为：46高等数学A2补充题班级学号姓名则，切平面与坐标面所围成的四面体的体积为证毕.§8-71.求在点处的方向导数的最大值.解：由已知，有而，在点处的方向导数在沿在该点的梯度方向取得最大值，最大值即为梯度的模.∴最大值为2.求在点处沿从点到点的方向的方向导数.解：向量的方向即是的方向.于是，与同向的单位向量§8-81．将正数分成三个正数之和，使得最大.解：即是求在条件下的最大值.46高等数学A2补充题班级学号姓名构造拉格朗日函数：求解方程组得：这是在条件下的唯一可能极值点，而的最大值一定