复合函数(知识点总结、例题分类讲解)

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1、WORD格式可编辑复合函数的定义域和解析式以及单调性【复合函数相关知识】1、复合函数的定义如果是的函数，又是的函数，即，，那么关于的函数叫做函数（外函数）和（内函数）的复合函数，其中是中间变量，自变量为函数值为。　例如：函数是由和复合而成立。说明：⑴复合函数的定义域，就是复合函数中的取值范围。⑵称为直接变量，称为中间变量，的取值范围即为的值域。⑶与表示不同的复合函数。2．求有关复合函数的定义域①　已知的定义域为，求的定义域的方法：已知的定义域为，求的定义域。实际上是已知中间变量的的取值范围，即，。通过解不等式求得的范围，即

2、为的定义域。②　已知的定义域为，求的定义域的方法：若已知的定义域为，求的定义域。实际上是已知直接变量的取值范围，即。先利用求得的范围，则的范围即是的定义域。3．求有关复合函数的解析式①已知求复合函数的解析式，直接把中的换成即可。②已知求的常用方法有：配凑法和换元法。配凑法：就是在中把关于变量的表达式先凑成整体的表达式，再直接把换成而得。换元法：就是先设，从中解出（即用表示），再把（关于的式子）直接代入中消去得到，最后把中的直接换成即得。专业知识整理分享WORD格式可编辑4.求复合函数的单调性若则增函数增函数增函数减函数减函

3、数增函数增函数减函数减函数减函数增函数减函数即“同增异减”法则5.复合函数的奇偶性一偶则偶，同奇则奇【例题讲解】一、复合函数定义域解析式例1设函数，求．例2已知，求例3①已知求；②已知，求．例4⑴若函数的定义域是[0，1]，求的定义域；⑵若的定义域是[-1，1]，求函数的定义域；⑶已知定义域是，求定义域．例5①已知，求；②已知，求．例6①已知是一次函数，满足，求；专业知识整理分享WORD格式可编辑②已知，求．二、复合函数单调性及其值域①初等函数复合求单调区间与值域例1已知函数，求其单调区间及值域。变式练习11.求函数=的单

4、调区间及值域2.求函数的单调区间和值域.例2求=的单调区间及值域变式练习2求函数f(x)=的单调区间及值域例3求变式练习3专业知识整理分享WORD格式可编辑1.求函数的单调区间及值域2.求函数·的最大值和最小值.②含参数的复合函数单调性与值域问题例4已知函数（且）试讨论其单调性。例5求函数的值域。变式练习41.讨论函数的单调性其中，且．③根据复合函数单调性或值域求参数取值范围例6设函数，若的值域为，求实数的取值范围．例7已知在区间上时减函数，求的取值范围.专业知识整理分享WORD格式可编辑例8若函数在区间上为减函数，求实数

5、的取值范围.变式练习5已知函数在区间上是增函数,求的范围.解:令,则原函数是由与复合而成.原函数在区间上是增函数,而外层函数始终是增函数,则易知内层函数在区间上也是增函数.而实质上原函数的最大单调增区间是,由得,即.【过关检测】1.求下列函数的定义域、值域及其单调区间：（1）;（2）2.求下列函数的单调递增区间：（1）;(2).3.已知函数，如果对于任意x都有成立，试求的取值范围.4.已知函数f（x）=log2(x2-ax-a)在区间上是单调递减函数.求实数的取值范围.专业知识整理分享WORD格式可编辑5求函数的

6、单调区间【考试链接】1.（2008山东临沂模拟理，5分）若，且，则与之间的大小关系是（）A．B．C．D．无法确定2.函数的图象大致是（）3．（2008江苏南通模拟，5分）设（且），若（，），则的值等于________。4．（2008海南海口模拟文、理，5分）若函数y=log2（kx2+4kx+3）的定义域为R，则实数k的取值范围是________。5．（2008江苏无锡模拟，5分）给出下列四个命题：①函数（且）与函数（且）的定义域相同；②函数和的值域相同；③函数与都是奇函数；④函数与在区间上都是增函数。其中正确命题的序号是

7、：__________。（把你认为正确的命题序号都填上）专业知识整理分享