复合函数(知识点总结、例题分类讲解)

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1、复合函数的定义域和解析式以及单调性【复合函数相关知识】1、复合函数的定义如果是的函数，又是的函数，即，，那么关于的函数叫做函数（外函数）和（内函数）的复合函数，其中是中间变量，自变量为函数值为。　例如：函数是由和复合而成立。说明：⑴复合函数的定义域，就是复合函数中的取值范围。⑵称为直接变量，称为中间变量，的取值范围即为的值域。⑶与表示不同的复合函数。2．求有关复合函数的定义域①　已知的定义域为，求的定义域的方法：已知的定义域为，求的定义域。实际上是已知中间变量的的取值范围，即，。通过解不等式求得的范围，即为的定义域。②　

2、已知的定义域为，求的定义域的方法：若已知的定义域为，求的定义域。实际上是已知直接变量的取值范围，即。先利用求得的范围，则的范围即是的定义域。3．求有关复合函数的解析式①已知求复合函数的解析式，直接把中的换成即可。②已知求的常用方法有：配凑法和换元法。配凑法：就是在中把关于变量的表达式先凑成整体的表达式，再直接把换成而得。换元法：就是先设，从中解出（即用表示），再把（关于的式子）直接代入中消去得到，最后把中的直接换成即得。74.求复合函数的单调性若则增函数增函数增函数减函数减函数增函数增函数减函数减函数减函数增函数减函数即

3、“同增异减”法则5.复合函数的奇偶性一偶则偶，同奇则奇【例题讲解】一、复合函数定义域解析式例1设函数，求．例2已知，求例3①已知求；②已知，求．例4⑴若函数的定义域是[0，1]，求的定义域；⑵若的定义域是[-1，1]，求函数的定义域；⑶已知定义域是，求定义域．例5①已知，求；②已知，求．7例6①已知是一次函数，满足，求；②已知，求．二、复合函数单调性及其值域①初等函数复合求单调区间与值域例1已知函数，求其单调区间及值域。变式练习11.求函数=的单调区间及值域2.求函数的单调区间和值域.例2求=的单调区间及值域变式练习2求

4、函数f(x)=的单调区间及值域例3求7变式练习31.求函数的单调区间及值域2.求函数·的最大值和最小值.②含参数的复合函数单调性与值域问题例4已知函数（且）试讨论其单调性。例5求函数的值域。变式练习41.讨论函数的单调性其中，且．③根据复合函数单调性或值域求参数取值范围例6设函数，若的值域为，求实数的取值范围．7例7已知在区间上时减函数，求的取值范围.例8若函数在区间上为减函数，求实数的取值范围.变式练习5已知函数在区间上是增函数,求的范围.解:令,则原函数是由与复合而成.原函数在区间上是增函数,而外层函数始终是增函数,

5、则易知内层函数在区间上也是增函数.而实质上原函数的最大单调增区间是,由得,即.【过关检测】1.求下列函数的定义域、值域及其单调区间：（1）;（2）2.求下列函数的单调递增区间：（1）;(2).3.已知函数，如果对于任意x都有成立，试求的取值范围.74.已知函数f（x）=log2(x2-ax-a)在区间上是单调递减函数.求实数的取值范围.5求函数的单调区间【考试链接】1.（2008山东临沂模拟理，5分）若，且，则与之间的大小关系是（）A．B．C．D．无法确定2.函数的图象大致是（）3．（2008江苏南通模拟，5分

6、）设（且），若（，），则的值等于________。4．（2008海南海口模拟文、理，5分）若函数y=log2（kx2+4kx+3）的定义域为R，则实数k的取值范围是________。5．（2008江苏无锡模拟，5分）给出下列四个命题：①函数（且）与函数（且）的定义域相同；②函数和的值域相同；7③函数与都是奇函数；④函数与在区间上都是增函数。其中正确命题的序号是：__________。（把你认为正确的命题序号都填上）7