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1、第一章Fourier变换主要内容Fourier变换是一种对连续时间函数的积分变换,通过特定形式的积分建立函数之间的对应关系.它既能简化计算(如解微分方程或化卷积为乘积等)，又具有明确的物理意义(从频谱的角度来描述函数的特征),因而在许多领域被广泛地应用.离散和快速Fourier变换在计算机时代更是特别重要．第一节：傅立叶(Fourier)积分Fourier级数:设函数fT(t)以T为周期,并且在上满足Dirichlet条件,即函数在上满足i)连续或有有限个间断点;ii)只有有限个极值点则在内，函数fT(t)可以展成Fourier级数，在fT(t)的连续点处，级数的三角形式为为了今后应用
2、上的方便，下面将Fourier级数的三角形式转化为复指数形式.令++++-c0cnc-nc0cnc-n即下面讨论非周期函数的展开问题。任何一个非周期函数f(t)都可以看成是由某个周期函数fT(t)当T→∞时转化而来的.即由有根据考虑显然是实数轴上均匀分布的点,且t固定时,是的函数,记为于是所以即于是Fourier积分公式Fourier积分定理:设函数f(t)在上满足下列条件:1°在任意有限区间上满足Dirichlet条件;2°在无限区间上绝对可积,即积分收敛,则成立(连续点处),在函数的间断点t处,有例1:求函数的Fourier积分表达式.Fourier积分公式的三角形式的奇函数的偶函
3、数Fourier积分的三角形式另外,由和5化积公式,我们还有当f为奇函数当f为偶函数Fourier正弦积分公式Fourier余弦积分公式1Fourier变换的定义2Fourier变换的性质§7.1Fourier变换的概念与性质3d函数的Fourier变换7.1.1Fourier变换的定义Fourier积分定理设f(x)在满足下列条件:(1)f(x)在任何有限区间上满足展开为Fourier级数的条件,即只存在有限个第一类间断点和有限个极值点；(2)f(x)在上绝对可积,即收敛.则在f(x)的连续点处而在f(x)的间断点处定义7.1设f(t)和F(w)都是在上绝对可积函数，称为f(t)的F
4、ourier变换，称为F(w)的Fourier逆变换,记为和如果f(t)满足Fourier积分定理条件,那么在f(t)的连续点处成立Fourier变换的反演公式例7.1设求根据定义，有Oxf(x)1实轴ABCD-RRO虚轴因为在全平面处处解析,所以取图中的路径ABCDA时，根据下面计算同理可证当R+时，因此,当R+时，于是OwF(w)例7.2求的Fourier变换.tf(t)o1根据Fourier变换的定义例7.3求的Fourier变换，并证明tf(t)O1根据Fourier变换的定义因为f(t)在上连续,且只有一个极大值点t=0,而存在,所以根据Fourier变换的反演公式于
5、是在无线电技术、声学、振动理论中,Fourier变换和频谱概念有密切联系.时间变量的函数f(t)的Fourier变换F(w)称为f(t)的的频谱函数,频谱函数的模称为振幅频谱(简称为频谱).例7.4求矩形脉冲函数(E>0)的频谱.otE...由频谱函数的定义w
6、F(w)
7、OEt故频谱为(如图所示)7.1.2Fourier变换的性质以下假定所讨论的函数满足Fourier积分定理的条件.(1)线性性质设a,b是常数，则(2)对称性质设则证明由Fourier逆变换有于是将t与w互换,则所以特别地,若f(t)是偶函数,则例7.5求的频谱函数.f(t)to函数的频谱函数为当t=2时,根据Four
8、ier变换的线性性质由知,单位幅度(即E=1)的矩形脉冲其中是宽度为2,幅度为的矩形脉冲函数,它是偶函数.由Fourier变换的,owp...宽度为2幅度为p的矩形脉冲函数(3)相似性质设则(其中为常数).证明由Fourier变换的定义,令则于是当a>0时,当a<0时,综上所证,即得(4)翻转性质设则由相似性质可直接得到(5)时移性质设则(其中t0为常数).证明由Fourier变换的定义,令代入上式得利用和,易见其中a,b为常数,并且事实上，例7.6计算于是根据得(6)频移性质设则(其中w0为常数).证明由Fourier变换的定义,由知,例7.7计算和根据于是由线性性质、以及知,(7)
9、微分性质设并且在上存在(n为正整数).如果当时,则只证明n=1的情形,类推可得高阶情形.上面是关于时域的微分性质.类似地也有关于频域的微分性质:设并且在上存在(n为正整数).如果当时,则从而可知例7.8设求令于是由可知所以(8)积分性质设并且如果则证明因为并且所以根据可知(9)卷积性质设则证明由卷积和Fourier变换的定义,可得7.1.3d函数的Fourier变换因为d函数是广义函数,所以其Fourier变换不是通常意义下的Fourier变换
