复变函数第二章 解析函数ppt

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1、第二章解析函数第一节解析函数的概念第二节函数解析的充要条件第三节初等函数1.复变函数的导数定义2.解析函数的概念§2.1解析函数的概念一.复变函数的导数(1)导数定义定义设函数w=f(z)z∈D,且z0、z0+Δz∈D，如果极限存在，则称函数f(z)在点z0处可导。称此极限值为f(z)在z0的导数，记作如果w=f(z)在区域D内处处可导，则称f(z)在区域D内可导。(1)Δz→0是在平面区域上以任意方式趋于零。(2)z=x+iy,Δz=Δx+iΔy,Δf=f(z+Δz)-f(z)例1(2)求导公式与法则①常数的导数c=(a+ib)=0.②(zn

2、)=nzn-1(n是自然数).证明对于复平面上任意一点z0，有----实函数中求导法则的推广③设函数f(z),g(z)均可导，则[f(z)±g(z)]=f(z)±g(z)，[f(z)g(z)]=f(z)g(z)+f(z)g(z)④复合函数的导数(f[g(z)])=f(w)g(z)，其中w=g(z)。⑤反函数的导数，其中:w=f(z)与z=(w)互为单值的反函数，且(w)0。思考题例3问：函数f(z)=x+2yi是否可导？例2解解例4证明f(z)=zRez只在z=0处才可导。证明(1)复变函数在一点处可导，要比实函数在一点

3、处可导要求高得多，也复杂得多，这是因为Δz→0是在平面区域上以任意方式趋于零的原故。(2)在高等数学中要举出一个处处连续，但处处不可导的例题是很困难的,但在复变函数中，却轻而易举。(3)可导与连续若w=f(z)在点z0处可导w=f(z)点z0处连续.?二.解析函数的概念定义如果函数w=f(z)在z0及z0的某个邻域内处处可导，则称f(z)在z0解析；如果f(z)在区域D内每一点都解析，则称f(z)在D内解析，或称f(z)是D内的解析函数(全纯函数或正则函数）。如果f(z)在点z0不解析，就称z0是f(z)的奇点。(1)w=f(z)在D内解析在D内可

4、导。(2)函数f(z)在z0点可导，未必在z0解析。例如(1)w=z2在整个复平面处处可导，故是整个复平面上的解析函数；(2)w=1/z，除去z=0点外，是整个复平面上的解析函数；(3)w=zRez在整个复平面上处处不解析(见例4)。定理1设w=f(z)及w=g(z)是区域D内的解析函数，则f(z)±g(z)，f(z)g(z)及f(z)g(z)(g(z)≠0时)均是D内的解析函数。定理2设w=f(h)在h平面上的区域G内解析,h=g(z)在z平面上的区域D内解析,h=g(z)的函数值集合G，则复合函数w=f[g(z)]在D内处处解析。作业P342

5、6,27P663(2)(4)1.解析函数的充要条件2.举例§2.2解析函数的充要条件如果复变函数w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在定义域D内处处可导，则函数w=f(z)在D内解析。本节从函数u(x,y)及v(x,y)的可导性，探求函数w=f(z)的可导性，从而给出判别函数解析的一个充分必要条件，并给出解析函数的求导方法。问题如何判断函数的解析性呢？一.解析函数的充要条件记忆定义方程称为Cauchy-Riemann方程(简称C-R方程).定理1设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D内有定义，则f(z)在点z=x+iy∈D处可导的充要条

6、件是u(x,y)和v(x,y)在点(x,y)可微，且满足Cauchy-Riemann方程上述条件满足时,有证明（由f(z)的可导C-R方程满足上面已证！只须证f(z)的可导函数u(x,y)、v(x,y)可微）。∵函数w=f(z)点z可导，即则f(z+Δz)-f(z)=f(z)Δz+(Δz)Δz(1),且Δu+iΔv=(a+ib)(Δx+iΔy)+(1+i2)(Δx+iΔy)=(aΔx-bΔy+1Δx-2Δy)+i(bΔx+aΔy+2Δx+1Δy)令：f(z+Δz)-f(z)=Δu+iΔv，f(z)=a+ib，(Δz)=1+i

7、2故（1）式可写为因此Δu=aΔx-bΔy+1Δx-2Δy,Δv=bΔx+aΔy+2Δx+1Δy所以u(x,y)，v(x,y)在点(x,y)处可微.（由函数u(x,y),v(x,y)在点(x,y)处可微及满足C-R方程f(z)在点z=x+iy处可导）∵u(x，y)，v(x，y)在(x，y)点可微，即：定理2函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D内解析充要条件是u(x,y)和v(x,y)在D内可微，且满足Cauchy-Riemann方程由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切的联系.当一个函数可导时,仅由其实部或虚部就可以求出导数来.利

8、用该定理可以判断那些函数是不可导的.使用时:i)判别u(x,y)，v(x,y)偏导数的连续性，ii)验证C-R条件.iii