高数啊高数课堂 2.4 导数计算

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1、§2.4导数的计算10基本的求导公式及求导法则(1)可导与连续的关系定理(可导与连续的关系)如果y=f(x)在x0处可导,则f(x)必在x=x0处连续,反之不然.证明需证由f(x)在x0处可导,得所以因此,f(x)在x0处连续反过来结论不成立反例则有可知f(x)在x=0处连续,但是不存在所以,f(x)在x=0处不可导(2)可导的充要条件定理(可导的充要条件)函数y=f(x)在点x0处可导的充要条件是证明说明：若f(x)在x0处可导,则有f(x)在x0处的右导数：f(x)在x0处的左导数：定理(可导与单侧导数

2、的关系)函数y=f(x)在x0处可导的充要条件是它的左导数和右导数存在而且相等,即例设问a,b为何值时,f(x)在x=0处可导?解根据可导与连续的关系可知,要f(x)在x=0处可导,必须要使f(x)在x=0处连续.所以为使f(x)在x=0处连续,b=-1需有1+b=0,即又存在现在得a=2,当b=-1,a=2时,函数f(x)在x=0处可导,且此时所以(3)求导法则及基本求导公式定理(求导的四则运算法则)设u(x),v(x)在x处可导,k1,k2R为常数,则证明(3)对任意利用导数定义,有下面推导一些常用的

3、求导公式证明同理可证证明同理可得证明证明定理(反函数的求导法则)设y=f(x)是严格单调的连续函数,是它的反函数,且在点y(y=f(x))处有导数则f(x)在x处也有导数,而且有即证明因为y=f(x)严格单调,所以反函数存在.对任意的记则所以又f(x)在x处连续,则当时,故有证明因为y=f(x)在R上连续且严格单调,其反函数根据反函数求导法则有证明因为y=arcsinx在(-1,1)上连续,严格单调,其反函数x=siny在上可导,且根据反函数求导法则有同理可得定理(复合函数的求导法则—链式法则)设在x点处可

4、导,y=f(u)在处可导,则复合函数在x处可导,而且证明由在x点处可导,y=f(u)在u处可导,则有其中于是有两边同除以得由在x点处可导,可知在x处连续从而有所以公式也可表示为注：证明因为若令则根据复合函数求导法则,有基本求导公式20显函数求导法举例例解例解例解中间变量多于一个的情形一般地，例解例解例解例解例解当x<2时,当x=2时,此时x=2为分段点可知f(x)在x=2处不可导.所以30隐函数的求导法隐函数：变量x,y之间的函数关系由方程F(x,y)=0所确定的函数.隐函数的求导法：不从方程F(x,y)=

5、0中解出y,而求出的方法.例求由确定的隐函数在(2,4)处的导数解将y=y(x)代入方程有两边对x求导,有解得令x=2,y=4得例对于由方程确定的函数,求解把y看作x的函数,两边对x求导,有解得例y=y(x)由方程确定,求解两边对x求导得(y是x的函数)解得作为隐函数求导法的应用,下面介绍对数求导法.先介绍一个求导公式例则当x>0时,当x<0时,解例解将以上函数两边取绝对值和对数,有将上式两边对x求导,得所以有例解将以上函数两边取对数,有将上式两边对x求导,得40由参数方程所确定的函数的求导方法问题：设x,

6、y间的函数关系由参数方程确定,分析：设x关于t的反函数存在,即则若再设在x处可导,y在t处可导,则有为计算利用反函数求导法则,若x关于t严格单调,连续且有导数则可得故有以下结论：设(1)x关于t严格单调,连续且有导数(2)y关于t可导,则有例1解例质点的运动方程为求时刻t时在曲线L上对应点的切线方程解在时刻t时,曲线L上对应点为其切线斜率为切线方程：50极坐标系下曲线的切线问题设曲线计算曲线在点处的切线方程将曲线写成参数方程,得则按点斜式方程不难写出直线方程例求心形线在对应点处的切线方程解心形线的参数方程为

7、切线斜率所对应的点(0,a)切线方程: