高数啊高数2章小结

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1、左右极限两个重要极限求极限的常用方法无穷小的性质极限存在的充要条件判定极限存在的准则无穷小的比较极限的运算法则函数极限等价无穷小及其性质极限的性质无穷小两者的关系无穷大左极限右极限无穷小:极限为零的变量称为无穷小.绝对值无限增大的变量称为无穷大.无穷大:在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.无穷小与无穷大的关系2、无穷小与无穷大定理1在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论1在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2常数与无穷小的乘

2、积是无穷小.推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小.无穷小的运算性质定理推论1推论23、极限的运算法则4、求极限的常用方法a.多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限.5、判定极限存在的准则(夹逼准则)准则Ⅱ开区间内单调有界函数在端点处必有极限.准则Ⅲ极限存在充要条件左右极限存在且相等(1)(2)6、两个重要极限则有拓展:若定义:7、无穷小的比较定理(等价无穷小替换定理)8、等价无穷小的性质极限的性质:唯一性定理局部有界性定理

3、局部保序性定理局部保号性定理左右连续在区间[a,b]上连续闭区间上连续函数的性质初等函数的连续性间断点定义连续定义连续的充要条件连续函数的运算性质振荡间断点无穷间断点跳跃间断点可去间断点第一类第二类1、连续的定义定理3、连续的充要条件2、单侧连续4、间断点的定义(2)跳跃间断点(1)可去间断点5、间断点的分类跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点:可去型第一类间断点跳跃型0yx0yx0yx无穷型振荡型第二类间断点0yx第二类间断点6、闭区间的连续性7、连续性的运算性质定理定理1严格单调的连续函数必有严格单调的连续反

4、函数.定理28、初等函数的连续性定理3定理4基本初等函数在定义域内是连续的.定理5一切初等函数在其定义区间内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间.9、闭区间上连续函数的性质定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.基本定理:在闭区间上连续的函数的值域为闭区间.定理2(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值.求导法则基本公式导数高阶导数导数1、导数的定义定义2.右导数:单侧导数1.左导数:2、基本导数公式（常数和

5、基本初等函数的导数公式）3、求导法则(1)函数的和、差、积、商的求导法则(2)反函数的求导法则(3)复合函数的求导法则(4)对数求导法先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.适用范围:(5)隐函数求导法则用复合函数求导法则直接对方程两边求导.(6)参变量函数的求导法则4、高阶导数记作二阶导数的导数称为三阶导数,(二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数)例1则有回顾:若二、例题（极限、连续）解：例2.求下列极限：提示:无穷小有界令～例4解例5解有无穷间断点及可去间断点解:为无穷间断点,所以为可去间断点,极限存在例6

6、.设函数试确定常数a及b.例7证明讨论:（注意连续区间发生变化）由零点定理知,综上,例8.当时,是的几阶无穷小?解:设其为的阶无穷小,则因故三、例题（导数）例1解例2.若且存在,求解:原式=且联想到凑导数的定义式例3.且存在,问怎样选择可使下述函数在处有二阶导数.解:由题设存在,因此1)利用在连续,即得2)利用而得3)利用而得例4解例5解分析:不能用公式求导.例6解先去掉绝对值例7解两边取对数例8解分析：例9解