高数求极限的方法小结

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1、宁波大红鹰学院学生数学课程论文高等数学中求极限的方法小结2.求极限的常用方法2.1利用等价无穷小求极限#这种方法的理论基础主要包括：(1)有限个无穷小的和、差、积仍是无穷小.(2)有界函数与无穷小的乘积是无穷小.(3)非零无穷小与无穷大互为倒数.(4)等价无穷小代换(当求两个无穷小之比的极限时，分子与分母都可用等价无穷小代替).[3]设、且；则：与是等价无穷小的充分必要条件为：．常用等价无穷小：当变量时，．例1求．解，故，原式例2求．解,因此:原式．13宁波大红鹰学院学生数学课程论文例3求．解，故:原式=．例4求．解,故:原式．例5试确定常数与，使

2、得当时，与为等价无穷小．解而左边，故即．2.2利用洛必达法则求极限#利用这一法则的前提是：函数的导数要存在；为0比0型或者型等未定式类型.洛必达法则分为3种情况：（1）0比0，无穷比无穷的时候直接用.（2）0乘以无穷，无穷减去无穷（无穷大与无穷小成倒数关系时）通常无穷大都写成无穷小的倒数形式,通项之后，就能变成（1）中形式了.（3）0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方，对于（指数,幂函数）形式的方法主要是取指数的方法，这样就能把幂函数指数位置的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了.洛必达法则中还有一个定理：当时，函数及都趋于0；在点的某去心邻域

3、内，﹑的导数都存在且的导数不等于0；存在，那么.[1]13宁波大红鹰学院学生数学课程论文求极限有很多种方法如洛必达法则，夹逼定理求极限的秘诀是：强行代入，先定型后定法.[3]例6求.分析秘诀强行代入，先定型后定法.（此为强行代入以定型）.可能是比高阶的无穷小，倘若不这样，或或.解，由洛必达法则的.例7求.解.例8求.解原式.（二次使用洛必达法则）.例9求.解原式.13宁波大红鹰学院学生数学课程论文例10求.解原式原式=.例11求.解原式.例12求.解原式.例13求.解原式“”型：例14求.解原式.“”型：例15求.解，13宁波大红鹰学院学生数学课程

4、论文故原式.“”型：例16求.解原式.“”型：例17求.解原式.“”型：例18求.解原式，而，因此：原式=1.2.3泰勒公式（含有的次方的时候，尤其是含有正、余弦的加减的时候要特别注意）泰勒中值定理定理：如果函数在含有的某个开区间内具有直到阶的导数，则对任一，有+(-)+(-)+……+(-)+()其中，这里是与之间的某个值.[1]例19利用带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式，求极限.13宁波大红鹰学院学生数学课程论文解由于公式的分母，我们只需将分子中的代入计算，于是，对上式做运算时，把两个高阶的无穷小的代数和还是记作.例20，，.2.4无穷小与有界函数

5、的处理方法面对复杂函数，尤其是正、余弦的复杂函数与其它函数相乘的时候，一定要注意这个方法.[3]例21求.解原式.2.5夹逼定理主要介绍的是如何用之求数列极限，这个主要是看见极限中的通项是方式和的形式，对之放缩或扩大.[1]例22求.13宁波大红鹰学院学生数学课程论文解，，，根据夹逼定理.2.6等比等差数列公式（的绝对值要小于）[1]例23设，证等比数列1，，，…的极限为0.证任取，为使，而，使，即，当，当时，即，即，由定义知.因此,很显然有:.2.7各项以拆分相加[3]13宁波大红鹰学院学生数学课程论文将待求的和式子的各项拆分相加来消除中间的大多

6、数，主要应用于数列极限,可以使用待定系数来拆分简化函数.例24求.解原式=.2.8求左右极限的方式例25求函数，求时，的极限.解，，因为，所以，当时，的极限不存在.例26.解，，因为，所以,原式=0.2.9应用两个重要极限，13宁波大红鹰学院学生数学课程论文例27求.解记，则原式=.例28求.解原式==.例29求.解原式==.2.10根据增长速度例30求.解原式==.例31求.解.同函数趋近于无穷的速度是不一样的，的次方快于（的阶乘）快于指数函数，快于幂函数，快于对数函数.所以增长速度：.13宁波大红鹰学院学生数学课程论文故以后上述结论可直接在极限

7、计算中运用.2.11换元法例32.解令，则原式==2.12利用极限的运算法则[1]利用如下的极限运算法则来求极限：(1)如果那么若又有，则（2）如果存在，而为常数，则（3）如果存在，而为正整数，则（4）如果，而，则（5）设有数列和，如果那么，当且时，2.13求数列极限的时候可以将其转化为定积分[1]例33已知,在区间上求（其中将分为13宁波大红鹰学院学生数学课程论文个小区间,，为中的最大值）.解由已知得:.（注释：由已知可以清楚的知道，该极限的求解可以转化为定积分,求函数在区间上的面积）.在有的极限的计算中，需要利用到如下的一些结论、概念和方法：（

8、1）定积分中值定理：如果函数在积分区间上连续，则在上至少有一个点，使下列公式成立：；（2）设函数在区间上连续，取，如果极限