广义逆矩阵在矛盾方程组的应用

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1、广义逆矩阵在矛盾方程组的应用　　摘要：一般的文章或教材没有运用广义逆矩阵直接求矛盾方程组的最小二乘解，本文利用广义逆矩阵求出了矛盾方程组的最小二乘解。　　关键词：广义逆矩阵；矛盾方程组　　【中图分类号】G642　　1.引言　　逆矩阵的概念只对非奇异方阵才有意义。但是，在很多实际问题中，我们碰到的矩阵并不都是方阵，即使是方阵，也不都是非奇异的。因此，有必要推广逆矩阵的概念。为此，本文给出了广义逆矩阵的定义，并利用广义逆的性质，求出了矛盾方程组的最小二乘解。　　2.广义逆矩阵的定义　　定义2.1设A是m×n的矩阵，若n×m的矩阵G满足如下四个Penrose方程的全部或者一部分，则称G为A

2、的广义逆矩阵，简称广义逆。　　AGA=A(1)　　GAG=G(2)　　(GA)H=GA(3)　　(AG)H=AG(4)　　如果某个G只满足（1）式，G为A的{1}广义逆，记为A(1)；如果另一个G′满足（1）和（2）式，则称G′5为A的{1,2}广义逆，记为A(1,2)，常用的5种广义逆：A{1},A{1,2}，A{1,3},A{1,4},A{1,2,3,4}，其中常记A{1,2,3,4}为A+。　　3.广义逆矩阵在矛盾方程组中的应用　　　　考虑非齐次线性方程组　　　　Ax=b（3.1）　　　　其中A∈Cm×n，b∈Cm给定，而x∈Cn为待定向量。如果不存在向量x使方程组（3.1）成

3、立，则称方程组矛盾。关于方程组求解问题，常见的有以下几种情况：　　　　如果方程组（3.1）不相容，则不存在通常意义下的解，但在许多实际问题中，需要求出极值问题　　　　（3.2）　　　　的解x，其中

4、

5、?

6、

7、为欧氏范数，称这个极值问题为求矛盾方程组的最小二乘问题，相应的x称为矛盾方程组的最小二乘解。　　　　一般说来，矛盾方程组的最小二乘解也不是唯一的，但在最小二乘解的集合中，具有极小范数的解　　5　　（3.3）　　　　是唯一的，称之为极小范数最小二乘解。　　　　定理3.1若方程组（3.1）不相容，则方程组存在最小二乘解　　　　　　　　其中A(1,3)∈A{1,3}.　　　　证明：因为，

8、而　　　　，所以　　　　(3.4)　　　　其中

9、

10、?

11、

12、是欧氏范数。显然，式(3.4)取得极小值的充要条件是　　　　Ax=PR(A)b，（3.5）　　　　任取A(1,3)∈A{1,3}，有R(AA(1,3))=R(A)，　　5　　，　　　　所以，AA(1,3)=PR(A)，故当x=A(1,3)b时，Ax=AA(1,3)b=PR(A)b，即式（3.5）成立。　　　　例3.1求方程组Ax=b的最小二乘解和极小范数最小二乘解，其中，，.　　　　解这里rankA=2，rank(A,b)=3，所以方程组为矛盾方程组，最小二乘解为　　　　极小范数最小二乘解为　　　　　　参考文献　　　　[1]北京

13、大学数学力学系.高等代数[M].北京:高等教育出版社，1978　　[2]吴昌悫,魏洪增.矩阵理论与方法[M].北京:电子工业出版社,2006　　[3]张凯院,徐仲.矩阵论[M].北京:科学出版社,2013　　[4]王松桂,杨振海.广义逆矩阵及其应用[M].北京工业大学出版社,19965　　[5]吴强.基于矩阵初等变换的矩阵分解法[J].数学理论与应用,20:4(2000),105-107　　　　5