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《利用角平分线构造全等三角形》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、善于构造活用性质安徽张雷几何问题中,若出现角平分线这一条件时,可联想角平分线的特性,灵活利用角平分线的特性来解决问题.1.显“距离”,用性质很多时候,题意中只给角平分线这个条件,图上并没有出现“距离”,而角平分线性质的运用又离不开这个“距离”,所以同学们应大胆地让“距离”现身（过角平分线上的一点向角的两边作垂线段）例：三角形的三条角平分线交于一点，你知道这是为什么吗？分析：我们知道两条直线是交于一点的，因此可以想办法证明第三条角平分线通过前两条角平分线的交点．已知：如图，△ABC的角平分线AD与BE
2、交于点I，求证：点I在∠ACB的平分线上．证明：过点I作IH⊥AB、IG⊥AC、IF⊥BC，垂足分别是点H、G、F．∵点I在∠BAC的角平分线AD上，且IH⊥AB、IG⊥AC∴IH=IG（角平分线上的点到角的两边距离相等）同理IH=IF∴IG=IF（等量代换）又IG⊥AC、IF⊥BC∴点I在∠ACB的平分线上（到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上）.即：三角形的三条角平分线交于一点．【例2】已知：如图，PA、PC分别是△ABC外角∠MAC和∠NCA的平分线，它们交于点P，PD⊥BM于D，
3、PF⊥BN于F．求证：BP为∠MBN的平分线．【分析】要证BP为∠MBN的平分线，只需证PD=PF，而PA、PC为外角平分线，故可过P作PE⊥AC于E．根据角平分线性质定理有PD=PE，PF=PE，则有PD=PF，故问题得证．【证明】过P作PE⊥AC于E．∵PA、PC分别为∠MAC与∠NCA的平分线．且PD⊥BM，PF⊥BN∴PD=PE，PF=PE,∴PD=PF又∵PD⊥BM，PF⊥BN,∴点P在∠MBN的平分线上，即BP是∠MBN的平分线．2.构距离,造全等有角平分线时常过角平分线上的点向角两边引
4、垂线，根据角平分线上的点到角两边距离相等,可构造处相应的全等三角形而巧妙解决问题．例3．△ABC中，∠C=90°，AC=BC，DA平分∠CAB交BC于D点，问能否在AB上确定一点E使△BDE的周长等于AB的长．请说明理由．解：过D作DE⊥AB，交AB于E点，则E点即可满足要求．因为∠C=90°，AC=BC，又DE⊥AB，∴DE=EB．∵AD平分∠CAB且CD⊥AC、ED⊥AB，∴CD=DE．由“HL”可证Rt△ACD≌Rt△AED．∴AC=AE．∴L△BDE=BD+DE+EB=BD+DC+EB=BC
5、+EB=AC+EB=AE+EB=AB．例4．如图，∠B=∠C=90°，M是BC上一点，且DM平分∠ADC，AM平分∠DAB．求证：AD=CD+AB．证明：过M作ME⊥AD，交AD于E．∵DM平分∠ADC，∠C=90°．MC=ME．根据“HL”可以证得Rt△MCD≌Rt△MED，∴CD=ED．同理可得AB=AE．∴CD+AB=ED+AE=AD．即AD=CD+AB．3.巧翻折,造全等以角平分线为对称轴，构造两三角形全等．即在角两边截取相等的线段，构造全等三角形．例5.如图，已知△ABC中∠BAC=90°
6、，AB=AC，CD垂直于∠ABC的平分线BD于D，BD交AC于E，求证：BE=2CD．分析：要证BE=2CD，想到要构造等于2CD的线段，结合角平分线，利用翻折的方法把△CBD沿BD翻折，使BC重叠到BA所在的直线上，即构造全等三角形（△BCD≌△BFD），然后证明BE和CF（2CD）所在的三角形全等．证明：延长BA、CD交于点F∵BD⊥CF（已知）∴∠BDC=∠BDF=90°∵BD平分∠ABC（已知）∴∠1=∠2在△BCD和△BFD中∴△BCD≌△BFD（ASA）∴CD=FD，即CF=2CD∵∠5
7、=∠4=90°，∠BDF=90°∴∠3+∠F=90°，∠1+∠F=90°。∴∠1=∠3。在△ABE和△ACF中∴△ABE≌△ACF（ASA）∴BE=CF，∴BE=2CD。例6.如图，已知AC∥BD、EA、EB分别平分∠CAB和△DBA，CD过点E，则AB与AC+BD相等吗？请说明理由．【分析】要证明两条线段的和与一条线段相等时常用的两种方法．1．可在长线段上截取与两条线段中一条相等的一段，然后证明剩余的线段与另一条线段相等．（割）2．把一个三角形移到另一位置，使两线段补成一条线段，再证明它与长线段相
8、等．（补）证法一：如图（1）在AB上截取AF=AC，连结EF．在△ACE和△AFE中∴△ACE≌△AFE（SAS）∵,∴,又,∴∠6=∠D在△EFB和△BDE中∴△EFB≌△EDB（AAS）∴FB=DB∴AC+BD=AF+FB=AB证法二：如图（2），延长BE，与AC的延长线相交于点F∠F=∠3在△AEF和△AEB中∴△AEF≌△AEB（AAS）,∴AB=AF，BE=FE在△BED和△FEC中∴△BED≌△FEC（ASA）∴BD=FC,∴AB=AF=AC+CF=AC+
