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1、利用角平分线构造全等三角形-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-CompanyOne1善于构造活用性质安徽张雷几何问题中,若出现角平分线这一条件时，可联想角平分线的特性，灵活利用角平分线的特性来解决问题.1•显“距离”，用性质很多时候，题意中只给角平分线这个条件，图上并没有出现“距离”，而角平分线性质的运用又离不开这个“距离”，所以同学们应大胆地让“距离”现身（过角平分线上的一点向角的两边作垂线段）例：三角形的三条角平分线交于一点，你知道这是为什么吗分析：我们知道两条直线是交于一点的，因此可以想办法证明第三条角平分线通过前两条角平分线的交点.已知：如图，AABC的角平分线AD
2、与BE交于点I,求证：点I在ZACB的平分线上.证明：过点I作IH丄AB、IG丄AC、IF丄BC,垂足分别是点H、G、F.•••点丨在ZBAC的角平分线AD上，且IH丄AB、IG丄ACaih=ig（角平分线上的点到角的两边距离相等）同理IH=IFr.lG=IF（等量代换）乂IG丄AC、IF丄BC・••点I在ZACB的平分线上（到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上）•即：三角形的三条角平分线交于一点.【例2】已知：如图，PA、PC分别是ZkABC外角ZMAC和ZNCA的平分线，国它们交于点P,PD丄BM于D,PF丄BN于F.求证：BP为ZMBN的平分线.【分析】要证BP为
3、ZMBN的平分线，只需证PD=PF,而PA、PC为外角平分线，回故可过P作PE丄AC于E.根据角平分线性质定理有PD=PE,PF=PE,则有PD=PF,故问题得证.【证明】过P作PE丄AC于E.TPA、PC分别为ZMAC与ZNCA的平分线・且PD丄BM,PF丄BN/•PD=PE.PF=PE,APD=PF6乂VPD±BM,PF丄BN；点P在ZMBN的平分线上，即BP是ZMBN的平分线.2•构距离，造全等有角平分线时常过角平分线上的点向角两边引垂线，根据角平分线上的点到角两边距离相等，可构造处相应的全等三角形而巧妙解决问题.例3.AABC中，ZC=90°,AC=BC,DA平分ZCAB交
4、BC于D点，问能否在AB0上确定一点E使ABDE的周长等于AB的长•请说明理山.解：过D作DE丄AB,交AB于E点，则E点即可满足要求.因为ZC=90°,AC=BC,XDE丄AB,.DE=EB.TAD平分ZCAB且CD丄AC、ED±AB,ACD=DE.由“HL”可证RtAACD^RtAAED・AAC=AE.ALz,bde=BD+DE+EB=BD+DC+EB=BC+EB=AC+EB=AE+EB=AB.例4.如图，ZB=ZC=90°,M是BC上一点，且DM平分ZADC,AM平分ZDAB・求证：AD=CD+AB.证明：过M作ME丄AD,交AD于E・VDM平分ZADC,ZC=90°•MC
5、=ME.根据“HL”可以证得RtAMCD^RtAMED,ACD=ED.同理可得AB=AE-ACD+AB=ED+AE=AD.即AD=CD+AB.3•巧翻折,造全等以角平分线为对称轴，构造两三角形全等.即在角两边截取相等的线段,构造全等三角形.例5•如图，已知Z^ABC中ZBAC=90°,AB=AC,CDI3垂直于ZABC0的平分线BD于D,BD交AC于E,求证：BE=2CD.6分析：要证BEPCD,想到要构造等于2CD的线段，结合角平分线，回利用翻折的方法把ACBD沿BD翻折，使BC重叠到BA所在的直线上，即构造全等三角形(△BCD9ABFD),然后证明BE和CF(2CD)所在单三角
6、形全等.证明：延长BA、CD交于点FVBD丄CF（已知）AZBDC=ZBDF=90°TBD平分ZABC（已知）.Z1=Z2在ABCD和ZBFD中込Z2=Z1（已知）BD=BD｛公共边）ZBDC=ZBDF（已证）/.ABCD^ABFD（ASA）/•CD=FD,即CF=2CDVZ5=Z4=90°,ZBDF=90°AZ3+ZF=90°,Zl+ZF=90°。7、C+BD0相等吗请说明理山.【分析】要证明两条线段的和与一条线段相等时常用的两种方法.1.可在长线段上截取与两条线段中一条相等的一段，回然后证明剩余的线段与另一条线段相等.(割)2.把一个三角形移到另一位置，使两线段补成一条线段，再证明它与长线段相等.(补)F6证法一：如图(1)在AB上截取AF二AC,连结EF.在AACE和AAFE中AC=AFZ1=Z2AE=AEAAACE^AAFE(SAS)•■-^5=ZC•:AC
8、
9、BD,：.^C+4=180。,又Z54-Z6=1
