一型曲线积分一型曲面积分和stieltjes积分①

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1、一型曲线积分一型曲面积分和Stieltjes积分①一型曲线积分一型曲面积分和Stieltjes积分①1?Stieltjes积分　　设函数定义在上,。　　分割:,作积分和数:　　=。令,当极限存在时,称此极限为函数在上的Stieltjes积分,记作:(s)。　　当是轴()时,Stieltjes积分就是Riemann积分,即R积分是S积分的特例。　　Stieltjes积分的一个实例:求以,为准线,平行于z轴的直线为母线,顶曲线为的柱面面积。面积　　()。由于弧长,故有。　　1.1?Stieltjes积分存在的条件　　当,为有

2、界变差,则:存在。　　1.2?Stieltjes积分化为Riemann积分的公式　　当,处处可导,且可积,则有:　　＝。　　　　2?一型曲线积分:　　若:,≤≤,。　　则有:。　　记,,　　则:。　　于是:　　。　　而:,正是Stieltjes积分化为.L.Riemann积分的公式。可见:一型曲线积分是Stieltjes积分,并且它的计算公式正是Stieltjes积分化为Riemann积分的公式。　　　　3?一型曲面积分:　　若:,。　　则:,　　。　　令是曲面元在面上的投影,　　记,　　则—曲面微元。　　于是:,显然是

3、的函数。即:　　。　　这是在曲面(三维空间的二维流形)上的Stieltjes积分化为Riemann积分的公式。　　一般地,记:,对一型曲面积分有:,是,的函数,记:。　　则:。　　即:　　　　。　　这是曲面上Stieltjes积分化为Riemann积分的公式,即一型曲面积分是Stieltjes积分。最后可以指出:二重积分和三重积分也都是和上的Stieltjes积分。