当“高远的立意”遭遇“冰冷的现实”

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1、当“高远的立意”遭遇“冰冷的现实”　　2012年中考数学连云港卷的压轴题是一道动态探究性试题.根据阅卷组的统计，该题作为一道总分12分的探究题，全市平均得分仅为0.88，换算成难度系数的话，约为0.07！这个结果严重超出了命题人的预料.显然，本题客观的统计的结果是不如人意的.然而，这道压轴题却又得到很多试题研究者的好评：“重视基础，突出了核心知识；数学思想的完美展示；逐次递进，助推能力；突出变与不变的辩证观念.”[1]并就这几个方面的特色进了详细评述，并最终总结认为该题是“一道紧扣课程标准的开放题”.　　一方面，试题被赏析者认为立意高远、紧扣标准；另一方面，试题

2、考查的结果又向我们呈现出了一个“冰冷的现实”.这让笔者不由得产生这样的思考：为什么本题的命题立意与现实之间会产生如此大的落差？这个落差所揭示的，是命题的迷失还是教学的迟滞？　　1原题呈现　　（2012连云港）已知梯形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1，AB=2，BC=3.　　问题1：如图1（1），P为AB边上一点，以PD、PC为边作平行四边形PCQD.请问对角线PQ，DC的长能否相等，为什么？4　　问题2：如图1（2），若P为AB边上任意一点，以PD、PC为边作平行四边形PCQD.请问对角线PQ的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说

3、明理由；　　问题3：若P为AB边上任意一点，延长PD到E，使DE=PD，再以PE，PC为边作平行四边形PCQE.请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由；　　图1　　问题4：如图1（3），若P为DC边上任意一点，延长PA到E，使AE=nPA（n为常数），以PE，PB为边作平行四边形PBQE.请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请直接写出最小值；如果不存在，请说明理由.　　2本题究竟难在哪里？　　笔者参加了连云港市2012年中考的阅卷工作.就阅卷情况来看，大部分学生在本题给出的解答都只是“能”、“不能”、“存

4、在”之类的判断语句.当然，如果考生幸运地在问题1后猜中“不能”，也能得到1分！这也就是说，本题如果去除得分中的“运气”成份的话，得分率更是微乎其微，考查效度也就可想而知了.本题究竟难在哪里？笔者在阅卷的同时也在努力从学生的角度来思考这个问题.　　2.1起点过高，缺乏思维铺垫　　就问题1来说，很多学生都只能给出一个正确的判断，但是能给出推理过程的学生很少.笔者认为，问题1单独拿出来，也算是一道中档难度的题目.笔者阅卷中发现，凡是能解答出问题1的学生，采取的思路基本上都可以概括如下：如果对角线相等，那么它应当是矩形；要成为矩形，那么应当有一个角是直角.于是，问题再转

5、化为∠4DPC会不会是直角；接下来，通过勾股关系的存在性或三角形相似的存在性来论证∠DPC会不会是直角.如果我们纵观本题的四个问题可以发现，问题1的以上探究过程对于问题2、问题3、问题4的解决基本上没有起到实质性的铺垫作用.从本题后三个问题的研究中我们可以发现，关注并研究P点运动过程中图形所具有的不变属性是解答本题的核心策略，但是，问题1显然没有为学生找到这种策略提供有效的思维铺垫.　　其实，在问题1中如果学生不将问题转化为角，而是直接研究PQ长度的话，对于整题来说却是“切中要害”的：在图1（1）中，设平行四边形PCQD的对角线交点为G，因为一条对角线DC确定，

6、所以G点确定.由平行四边性质知PQ=2PG，当P点运动至PQ⊥AB时，PG取得最小值，PQ即取得最小值，此时PG为梯形的中位线，易求出长度为2，即PQ最小为4，而DC为定值22，说明PQ与DC长不可能相等.在这样的解答过程中，学生不仅不需要将问题向“矩形”转化，而且解题思路似乎是直接而又自然的.但是，笔者在阅卷过程中没有发现一个学生采取这种方法.实质上，如果用这样的思路分析问题1就会发现它与问题2基本上是一回事了！　　通过以上分析，我们可以得到这样的认识：如果问题1的立意在于考查特殊四边形之间的联系的话，那么它与后续问题没有形成联系，相当于一道独立于其它问题的中

7、档题；如果问题1的立意是服务于整题核心思想的话，那么它的考查深度甚至高于问题2，以至没有一个学生达到这样深刻的认识.于是，本题问题1是一个“高起点”，问题2又是另一个“高起点”，这是导致整题成为一个冷冰冰的“大题目”的重要原因之一.　　2.2对学生空间想像能力要求较高4　　那么，为什么学生在问题1中普遍采取将问题转化为矩形的方法而没有采用笔者上述直接研究PQ长度的方法呢？　　笔者认为，后者虽然在形式上显得直接而又自然，但却存在着本质认识上的困难.之所以没有一个学生采取这种方法，就是因为这种方法对学生空间想象能力要求过高.空间想像能力，是构成数学素养的重要的基础能

8、力之一，其实也是课程标准