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1、泰勒公式及无穷小变换的应用泰勒公式及其应用等价无穷小在求函数极限中的应用及推广28泰勒公式及无穷小变换的应用泰勒公式及其应用１引言泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆.作者通过阅读大量的参考文献,从中搜集了大量的习题,通过认真演算,其中少数难度较大的题目之证明来自相应的参考文献,并对这些应用方法做了系统的归纳和总结.由于本文的主要内容是介绍应用,所以,本文会以大量的例题进行讲解说明.２预备知识定义2.1若函数在存在阶导数,则有（1）这里为佩亚诺型余项,称(1)
2、f在点的泰勒公式.当=0时,（1）式变成,称此式为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式.定义2.2若函数在某邻域内为存在直至阶的连续导数,则 ,（2）这里为拉格朗日余项,其中在与之间,称（2）为在的泰勒公式.当=0时,（2）式变成28泰勒公式及无穷小变换的应用称此式为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式.常见函数的展开式：.....定理2.1(介值定理)设函数在闭区间上连续,且,若为介于与之间的任何实数,则至少存在一点,使得.3泰勒公式的应用3.1利用泰勒公式求极限为了简化极限运算,有时可用某项的泰勒展开式来代替该项,使得原来函数的极限转化为类似多项式有理式的极限,就能简捷
3、地求出.例3.1求极限.分析：此为型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将和分别用泰勒展开式代替,则可简化此比式.解由,得28泰勒公式及无穷小变换的应用,于是.例3.2极限.分析：此为型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将和sinx,分别用泰勒展开式代替,则可简化此比式.解：由,于是例3.3利用泰勒展开式再求极限 。解：， 28泰勒公式及无穷小变换的应用【注解】现在，我们可以彻底地说清楚下述解法的错误之处因为，从而当时，，应为 3.2利用泰勒公式证明不等式当所要证明的不等式是含有多项式和初等函数的混合物,不妨作一个辅助函数并用泰勒公式代替,往往使证明方
4、便简捷.例3.2当时,证明.证明取,,则带入泰勒公式,其中=3,得，其中.故当时,.28泰勒公式及无穷小变换的应用3.3利用泰勒公式判断级数的敛散性当级数的通项表达式是由不同类型函数式构成的繁难形式时,往往利用泰勒公式将级数通项简化成统一形式,以便利用判敛准则.3.3利用泰勒公式判断广义积分的敛散性例3由于收敛，所以例3.3讨论级数的敛散性.分析：直接根据通项去判断该级数是正向级数还是非正向级数比较困难,因而也就无法恰当选择判敛方法,注意到,若将其泰勒展开为的幂的形式,开二次方后恰与相呼应,会使判敛容易进行.解因为28泰勒公式及无穷小变换的应用,所以,所以故该级数是正
5、向级数.又因为,所以.因为收敛,所以由正向级数比较判别法知原级数收敛.3.4利用泰勒公式证明根的唯一存在性例3.4设f(x)在上二阶可导,且,对,证明：在内存在唯一实根.分析：这里f(x)是抽象函数,直接讨论的根有困难,由题设f(x)在上二阶可导且,可考虑将f(x)在a点展开一阶泰勒公式,然后设法应用戒指定理证明.证明因为,所以单调减少,又,因此x>a时,,故f(x)在上严格单调减少.在a点展开一阶泰勒公式有28泰勒公式及无穷小变换的应用由题设,于是有,从而必存在,使得,又因为,在上应用连续函数的介值定理,存在,使,由f(x)的严格单调性知唯一,因此方程在内存在唯一实
6、根.3.5利用泰勒公式判断函数的极值例3.5(极值的第二充分条件)设在的某邻域内一阶可导,在处二阶可导,且,.(i)若,则在取得极大值.(ii)若,则在取得极小值.证明由条件，可得f在处的二阶泰勒公式.由于,因此.(*)又因,故存在正数,当时,与同号.所以,当时,(*)式取负值,从而对任意有,即在取得极大值.同样对,可得在取得极小值.3.6利用泰勒公式求初等函数的幂级数展开式利用基本初等函数的幂级数展开式,通过加减乘等运算进而可以求得一些较复杂的初等函数的幂级数展开式.例3.6求的幂级数展开式.解利用泰勒公式28泰勒公式及无穷小变换的应用3.7利用泰勒公式进行近似计算
7、利用泰勒公式可以得到函数的近似计算式和一些数值的近似计算,利用麦克劳林展开得到函数的近似计算式为,其误差是余项.例3.7计算Ln1.2的值,使误差不超过0.0001解先写出f(x)=Ln(1+x)带拉格朗日型余项的麦克劳林展开式：,其中（在0与x之间）.令,要使则取即可.因此当要求的算式不能得出它的准确值时,即只能求出其近似值,这时泰勒公式是解决这种问题的最好方法.例3.8求的近似值,精确到.解因为中的被积函数是不可积的（即不能用初级函数表达）,现用泰勒公式的方法求的近似值.在的展开式中以代替x得逐项积分,得上式右端为一个收敛的交错级数,由其余项的估
