第27届全国中学生物理竞赛决赛试题-答案~

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1、

2、一、（25分）填空题1．（6分）2．，（4分）3．（6分）4．，，（9分）二、（20分）1．令表示物块的质量，物块在斜面上滑动的加速度，（1）物块滑到斜面底端的速度（2）以传输带为参照系，物块滑到传输带的初速度大小。（3）运动方向与传输带边缘的夹角满足。（4）物块在传输带上作减速运动，其加速大小为

3、。（5）当物块与传输带相对静止时在传输带上运动的距离，（6）物块不超过传输带的边缘对应的最小摩擦系数应满足（7）因此可得。（8）2．物块对传输带的摩擦力大小，（9）方向与的方向相同。从地面参照系来看，传送带速度为，单位时间内物块对传输带所做的功，（10）因

4、此负载所引起的附加功率。（11）考虑到无负载时电机的输出功率。（12）有负载时电机的输出功率为

5、。（13）设有负载时的工作电流为，则，（14）解之得。（15）评分标准：（2）式2分，（3）、（4）式共2分，（6）式2分，（7）式3分，（8）式1分，（9）式4分，（10）式2分，（13）式2分，（15）式2分。三、（20分）设轻杆的杆长为，当杆与水平线的夹角为时，球1和球2的速度分别为和，杆转动的角速度为。因机械能守恒，有。（1）又因，（2）可由（1）、（2）解得（3）轻杆与两小球构成的系统对转轴的角动量，（4）由角动量定律有。（5）根据角加速度的定义

6、

7、，（6）由（2）、（4）、（5）、（6）各式得。（7）当两球都未脱离轻杆时，两球都绕转轴作圆周运动，球1的切向加速度和法向加速度分别为（8）（9）以表示沿垂直于轻杆方向球1与杆的相互作用力的大小，以表示沿着轻杆方向球1与杆的相互作用力的大小，根据牛顿第二定律，有，（10）（11）由（3）、（9）、（10）、（11）各式得。（12）。（13）对2球作同样的分析，沿垂直于轻杆方向球2与杆的相互作用力的大小与沿着轻杆方向球2与杆的相互作用力的大小分别为，（14）

8、。（15）由（12）、（14）式可知，杆与小球1、杆与小球2的最大静摩擦力相等，而（13）、（1

9、4）式表明小球1与杆的摩擦力大于小球2与杆的摩擦力，故在转动过程中，小球1与杆之间的摩擦力先达到最大静摩擦力，故小球1先滑动。设1球开始滑动时，细杆与水平线夹角为，则，即，（16）由（16）式并代入数据得。（17）当时，球1开始向外滑动。由于球1的初始位置紧靠轻杆末端，球1从开始滑动到脱离细杆的时间可忽略不计，因此球1脱离细杆与水平线夹角也为。球1一旦脱离轻杆，因轻杆没有质量，球2与轻杆间的相互作用立即消失，此后球2只受重力作用而作斜舞女运动，注意到（2）、（3）、（7）各式，抛出时的初速度。（18）初速度的方向与水平线的夹角。（19）

10、在球2作抛体运

11、动的过程中，球与轻杆间虽无相互作用，但球仍套在杆上，轻杆将跟着球运动，但不会干扰小球的运动。当球离转轴的距离再次等于时，球2便脱离轻杆。建立如图所示的坐标系，根据斜抛运动规律可得任意时刻（取球2开始作抛体运动的时刻为计时起点）球2的位置坐标，（20），（21）球2脱离细杆时有。（22）利用（17）、（18）、（19）各式得，（23）从而解得。（24）此时。（25）设球2脱离细杆时细杆与水平线夹角也为（如图），则，（26）

12、（或弧度）。（27）评分标准：（3）式2分，（7）式3分，（12）~（15）式各1分，（16）式2分，（17）式1分，（18）式2分

13、，（19）式1分，（20）~（22）式各1分，（26）、（27）式各1分。四、（15分）解法1：以表示质点的质点，表示连线与竖直方向的夹角，表示转动角速度，表示间排斥力的大小。根据牛顿定律有，（1），（2），（3）。（4）由（1）、（3）两式并利用（2）、（4）两式可得。（5）考虑到几何关系（6）并利用已知和的表示式。可由（5）得到

14、（7）又，由（2）、（4）式可得。（8）带入已知的和的表达式可得。（9）联立（7）、（9）从而有。（10）如果，则意味着方程（11）在区间有两个不同的解，其中为某一合适的常数。这要求函数在区间不能是单调函数，也就是说和不能

15、同时为单调增函数或单调减函数。因此当增大时，若增大，则应减小；反之，若减小，则应增大，故与同号。因此有（12）。（13）对，可知在及时均为零，因此在

16、区间一定存在极值点，意味着方程（11）在合适选取的情况下必有两个或两个以上的不同解。对亦然。因此条件（12）、（13）是符合题意要求的充分必要条件。评分标准：（1）~（4）式各1分，（6）式1分，（10）式6分，（12）、（13）式及其以下说明共4分。解法2：如图，设、间的排斥力是，它们受到的吸引力分别是、，向心力分别是、，距离分别是、；根据三角形的相似关系，有，（1a）。（2a）以上两式相比可得（3a）

17、依题意有，（4a），（5a），（6a）将（4a）~（6a）代入（3a）得。（7a）

18、由（7a）