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1、凸函数在初等代数中的应用摘要本文通过对凸函数定义及性质定理的介绍,归纳了判定凸函数的几种方法,并用于讨论初等代数中关于函数凸性的问题,进一步提高了运用这些方法解决相关数学问题的能力.关键词凸函数;判别;不等式;应用中图分类号O174.131引言函数的凹凸性主要用于高等数学中,例如凸函数在泛函分析、最优化理论以及数学规划和控制论等领域有着广泛的应用,而在初等代数中并没有相关的概念以及系统的定义、性质,但它在初等代数解题中频频出现.例如有些对数函数,指数函数以及一些不等式的计算或证明,往往看起来很复杂,甚至无从下手,若用常规方法去解决会相当困难,再加上计算量大且繁锁,使许多
2、人产生厌学数学的情绪,但如果利用凸函数的相关性质给予计算或证明,则会起到简捷明了、事半功倍的效果.为了培养与提高学生学习数学的兴趣,让学生初步掌握凸函数相关性质是很必要的.因此本文通过凸函数的基本知识及相关性质的介绍,归纳了判定其凸性的几种方法,并用于讨论初等代数中关于函数凸性的问题.2预备知识定义设为定义在区间上的函数,若对上的任意两点,和任意实数,总有,则称为区间上的凸函数.反之,如果总有.则称为区间上的凹函数.定义若在区间上有定义,当且仅当曲线的切线恒保持在曲线以下,则称为上的凸函数.性质若在区间上为凸函数,则当时,在上也为凸函数.性质若,在区间都为凸函数,则在区
3、间上也为凸函数.性质若在区间上为凸函数,则当时,在区间上8也为凸函数.性质(Jensen不等式)若为区间上的凸函数,则对任意的,,,且,有.推论若是凸函数,则其对应定义域中的任意个点,恒有,当且仅当时等号成立.定理为上的凸函数的充要条件是:对于上的任意三点,总有.推论若在上满足(,且),则称为上的凸函数.定理设为区间上的二阶可导函数,则为上的凸函数的充要条件是,.由于凹函数与凸函数是对偶的概念,后一个有什么结论,前一个亦有相应的结论,所以本文只需讨论函数的凸性.3判别函数凸性的方法在解题中常会遇到一些与凸函数相关的问题.要想运用凸函数的有关性质去解决,首先就要判断该函数
4、的凸性.因此掌握判别凸函数的一些基本方法,有利于提高解题速度.下面将探讨判别凸函数的几种基本方法.83.1定义法一些基本的初等函数可以直接用定义去判别它的凸性.例如.由定义1,对,有,即,所以为上的凸函数.3.2定理法例1判别函数的凸性.解令且,则,由定理1有,所以为上的凸函数.例2判别的凸性.解由于,,则由定理2知,当,即时,有.故在上为凸函数,在上为凹函数.3.3几何意义法8在定义中,令,分别表示轴上点到点的线段,点到点,的线段(如图1）.则定义1表示凸函数图形上任意一段弧的所有点都在该弧所对应的弦下面.图1这样利用函数的几何意义,做出该函数某定义区间内的图象,根据
5、图像特点就可判断函数的凸性.这样对一些基本的初等函数的凸性便可快速判别.如,在上为凸函数.,在上为凸函数.(且),在上为凸函数.,当或时,在上为凸函数.,当时,在上为凹函数;当,在上为凸函数.在以上判别函数凸性的方法中,用定义法判定函数的凸性过程中计算量大不易于快速解决问题,而定理2形式简单,应用方便,成为判别函数凸性的首选方法.但在解题过程中应灵活选用适当的方法,以便高效解题.4函数的凸性在初等代数中的应用函数凹凸性虽然是高等数学的一个内容,但在初等代数中却有着广泛应用.4.1在证明不等式中的应用证明不等式是初等代数的一个重点内容,也是难点内容,有时若用凸函数的性质去
6、证明不等式,往往会有奇妙的效果.例若,求证8.证明 作上的凸函数,而,所以有.注若用数学归纳法证明很难而且不易找到其解题思路,但巧妙运用函数的凸性,可以快速解决问题,并且使证明过程变得简单易懂.例已知函数,若且,证明.证明因为,,且,故,则在区间是下凸函数.又,所以有.注若该题采用常规方法,对三角函数式变形要求较高,而利用函数凸性则可避免复杂的变形和计算.例若,,,则( ).A.B.C.D.解由,得均为正数,由均值不等式得,又由对数函数,则有,所以函数在其定义域内是上凸函数,故有,选B.84.2在有关函数图像问题中的应用利用函数的凸性,不仅可以用来证明不等式,求取值范围
7、,而且还可以深刻地研究函数的有关性质和绘制函数图像,并结合图像来解决问题.例已知为正整数,且,证明.分析如图2,作出函数的简图,图象过点.图2设直线交曲线于点B,交线段AC于点F,则,,由函数的凹凸性可知函数为凸函数,则有时,有,即,可化为.证明设数列的通项为,则式可化为为,所以数列为递减数列.由于,则有,即,变形得,所以成立.8例如图所示,单位圆中弧的长为,表示弧与弦所围成的弓形面积的2倍,则函数的图象是().解法1设,则,又当时,,则,其图像位于下方;当时,,,其图像位于上方.故选D.解法2易知弓形的面积为,而,故的函数图像,在上为凹
